Диаграмма растяжения – сжатия стержня схематизируется двумя прямыми (рисунок 11), описываемыми уравнениями

(1)

σ = E * ε при σ ≤ σТ

σ - σТ =Д (ε - εТ) при σ ≥ σТ

где Д – угловой коэффициент прямых по рисунку 9 (обычно Д<Е).

Рисунок 9 - Диаграмма деформирования для линейно-упрочняющегося

стержня разнородной упругости

На первом этапе нагружения, когда материал детали следует закону Гука, реакции Nab и Nac в нижним и верхним участках определяются раскрытием статической неопределенности:

∑Y=0, Nab + Nac = P (2)

Перемещение сечения А относительно сечения С и сечения В равны по абсолютной величине, так как сечение А расположено на границе АС и АВ , то есть

│ ∆AB │=│ ∆AC │ (3)

Физическая часть решения (3) состоит в следующем

С учетом последнего находим, что

			(4)

При увеличении внешней нагрузки Р пластические деформации начинаются нижней части стержня. Нагрузка Р=РТ , при которой начинаются пластически деформации .находится из выражения для внутреннего усилия в нижней чаcти стержня

(5)

NAС F

Напряжения в верхней части стержня при этом будут :

(6)

Естественно, что верхняя часть стержня находится в упругой области.

Согласно диаграмме для идеального упругопластического тела нижний участок стержня не может воспринимать большей нагрузки, чем NAB=σT·F

NAB=σT·F

NAС=σT·F

Поэтому при дальнейшем увеличении внешней нагрузки Р возрастает нагрузка, воспринимаемая верхним участком. В предельном состоянии при Р=РПР усилия, воспринимаемые верхним и нижним участками стержня будут равны :

	и

(7)

(8)

Тогда предельная нагрузка определяется из условия:

∑Y=NAB+NAC-PПР=0; PПР=2 σT·F.

Сопоставим значения допускаемых нагрузок при расчете по методу допускаемых напряжений и по предельному состоянию.

PПР

2σT·F

По предельному состоянию:

					(9)

По методу допускаемых напряжений:

			(10)

Из формул (9) и (10) видно, что при расчете по предельному состоянию выявляются существенные резервы несущей способности конструкции

			(11)