Достоверных сведений о жизни и научной деятельности Пифагора не сохранилось. Ему приписывается создание учения о подобии фигур. Он, вероятно, был среди первых ученых, рассматривавших геометрию не как практическую и прикладную дисциплину, а как абстрактную логическую науку.

В школе Пифагора было открыто существование несоизмеримых величин, т. е. таких, отношение между которыми невозможно выразить никаким целым или дробным числом. Примером может служить отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны, равное Ц2. Число это не является рациональным (т. е. целым или отношением двух целых чисел) и называется иррациональным, т.е. нерациональным (от латинского ratio - отношение).

Пифагорейцы не знали других чисел, кроме рациональных. Построив диагональ квадрата, сторона которого равна 1, они констатировали, что она не может быть выражена никаким числом, так как для них не было других чисел, кроме целых и дробных. Этот факт привел в большое смущение пифагорейцев, так как в основе их философии лежало понятие о числе как основе всех вещей и явлений природы. Но вот эта великая основа - число - не в состоянии выразить длины простого отрезка в простой фигуре - диагонали квадрата. Вот почему открытие несоизмеримых величин явилось большим ударом по учению Пифагора и пифагорейцы долго его держали в строгой тайне. Согласно преданию, ученик Пифагора, раскрывший публично эту тайну, был наказан богами и погиб во время кораблекрушения. Открытие несоизмеримых величин было важным поворотным пунктом в развитии античной математики. Узнав, что существуют отношения величин, не выражаемые никакими рациональными числами, древнегреческие ученые стали представлять величины не арифметически, а геометрически, не числами, а отрезками. Таким образом, возникла геометрическая алгебра, а потом и теория отношений Евдокса.

2. Призма

Рассмотрим произвольный многоугольник, например, пятиугольник АВСDЕ (см. чертеж на стр. 25), который лежит в плоскости a. Рассмотрим теперь параллельный перенос, определяемый некоторым ненулевым вектором V, не лежащим в плоскости. Образом плоскости a будет параллельная ей плоскость b. Образом многоугольника Ф будет многоугольник Ф1=A1B1C1D1E1, лежащий в плоскости b. Направленные отрезки AA1, BB1 будут параллельны, так как каждый из них изображает один и тот же вектор V. Многогранник ABCDEA1B1C1D1E1 называют призмой.

Определение 1. Многогранник, две грани которого - одноименные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а любые два ребра, не лежащие в этих плоскостях, параллельны, называется призмой.

Многоугольники Ф и Ф1, лежащие в параллельных плоскостях, называют основаниями призмы, а остальные грани - боковыми гранями.

Поверхность призмы, таким образом, состоит из двух равных многоугольников (оснований) и параллелограммов (боковых граней). Различают призмы треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т.д. в зависимости от числа вершин основания.

Если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то такую призму называют прямой; если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то такую призму называют наклонной. У прямой призмы боковые грани - прямоугольники. Перпендикуляр к плоскостям оснований, концы которого принадлежат этим плоскостям, называют высотой призмы. На рис. отрезок A1O - высота изображенной призмы.

Определение 2. Прямая призма, основанием которой служит правильный многоугольник, называется правильной призмой.

Боковое ребро прямой призмы, в том числе и правильной, есть ее высота. На рисунке изображена правильная шестиугольная призма и ее разверстка; высота этой призмы равна ее боковому ребру. Отрезок, концы которого - две вершины, не принадлежащие одной грани призмы, называют ее диагональю. Отрезок B1D (см. рис. ) - диагональ призмы. Сечение призмы с плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не лежащих в одной грани, называют диагональным сечением призмы.

2.1 Площадь поверхности призмы

Поверхность многогранника состоит из конечного числа многоугольников (граней). Площадь поверхности многогранника есть сумма площадей всех его граней. Площадь поверхности призм (Sпр) равна сумме площадей ее боковых граней (площади боковой поверхности Sбок) и площадей двух оснований (2Sосн) - равных многоугольников: Sпр=Sбок+2Sосн.

Теорема. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра ее перпендикулярного сечения и длины бокового ребра.

Дано: АС1 - произвольная n-угольная призма (на рисунке вкачестве примера изображена четырехугольная призма), a^AA1, A2B2C2D2 - перпендикулярное сечение (сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру), l - длина бокового ребра.

Доказать: Sбок = РЧl, где Р - периметр перпендикулярного сечения.

Доказательство. Sбок= SAA1B1B + SBB1C1C + SCC1D1D + .

1444442444443

n слагаемых

Каждая боковая грань призмы - параллелограмм, основание которого - боковое ребро призмы, а высота - сторона перпендикулярного сечения.

Поэтому

Sбок=lA2B2+lB2C2+lC2D2+ .=(A2B2+B2C2+C2D2+ .)l=PЧl.

Sбок = РЧl.

Теорема доказана.

Следствие. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания и высоты.

Действительно, у прямой призмы основание можно рассматривать как перпендикулярное сечение, а боковое ребро есть высота.

2.2. Призма и пирамида

Подобно тому, как треугольник в понимании Евклида не являются пустым, т. е. представляет собой часть плоскости, ограниченную тремя неконкурентными (т. е. не пересекающимися в одной точке) отрезками, так и многогранник у него не пустой, не полый, а чем-то заполненный (по-нашему - частью пространства). В античной математике, однако, понятия отвлеченного пространства еще не было. Евклид определяет призму как телесную фигуру, заключенную между двумя равными и параллельными плоскостями (основаниями) и с боковыми гранями - параллелограммами. Для того чтобы это определение было вполне корректным, следовало бы, однако, доказать, что плоскости, проходящие через пары непараллельных сторон оснований, пересекаются по параллельным прямым. Евклид употребляет термин “плоскость” как в широком смысле (рассматривая ее неограниченно продолженной во все направления), так и в смысле конечной, ограниченной ее части, в частности грани, аналогично применению им термина “прямая” (в широком смысле - бесконечная прямая и в узком - отрезок). В XVIII в. Тейлор дал такое определение призмы: это многогранник, у которого все грани, кроме двух, параллельны одной прямой.

Пирамиду Евклид определяет как телесную фигуру, ограниченную плоскостями, которые от одной плоскости (основания) сходятся в одной точке (вершине). Эго определение подвергалось критике уже в древности, например, Героном, предложившим следующее определение пирамиды: это фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке, и основанием которой служит многоугольник.

Важнейшим недостатком этого определения является использование неопределенного понятия основания. Тейлор определил пирамиду как многогранник, у которого все грани, кроме одной, сходятся в одной точке. Лежандр в “Элементах геометрии” так определяет пирамиду: “Телесная фигура, образованная треугольниками, сходящимися в одной точке и заканчивающаяся на различных сторонах плоского основания”. После этой формулировки разъясняется понятие основания. Определение Лежандра является явно избыточным, т.е. содержит признаки, которые можно вывести из других. А вот еще одно определение, которое фигурировало в учебниках ХIХ в.: пирамида - телесный угол, пересеченный плоскостью.