R R

y = (1/2S) òÖ(R2–x2)dx = (1/pR2) òÖ(R2–x2)dx =

–R –R

R

= (1/pR2)(R2x–x3/3)|= 4R/3p

–R

Ответ: M(0; 4R/3p )

Путь, пройденный материальной точкой

Если материальная точка движется прямолинейно со скоростью u=u(t) и за время T= t2–t1 (t2>t1) прошла путь S, то

t2

S=ò u(t)dt.

t1

II. В геометрии

Объём — количественная характеристика пространственного тела. За единицу измерения объёма принимают куб с ребром 1мм(1ди, 1м и т.д.).

Количество кубов единичного объёма размещенных в данном теле — объём тела.

Аксиомы объёма:

1. Объём — это неотрицательная величина.

2. Объём тела равен сумме объёмов тел, его составляющих.

Найдем формулу для вычисления объёма:

1. выберем ось ОХ по направлению расположения этого тела;

2. определим границы расположения тела относительно ОХ;

3. введем вспомогательную функцию S(x) задающую следующее соответствие: каждому x из отрезка [a;b] поставим в соответствие площадь сечения данной фигуры плоскостью, проходящей через заданную точку x перпендикулярно оси ОХ.

4. разобьем отрезок [a;b] на n равных частей и через каждую точку разбиения проведём плоскость перпендикулярную оси ОХ, при этом наше тело разобьется на части. По аксиоме

V=V1+V2+ .+Vn=lim(S(x1)Dx +S(x2)Dx+ .+S(xn)Dx

n®¥

Dx®0, а Sk®Sk+1, а объем части, заключенной между двумя соседними плоскостями равна объему цилиндра Vц=SоснH.

Имеем сумму произведений значений функций в точках разбиения на шаг разбиения, т.е. интегральную сумму. По определению определенного интеграла, предел этой суммы при n®¥ называется интегралом a

ò S(x)dx

b

a

V= ò S(x)dx, где S(x) – сечение плоскости, проходящей через

b выбранную точку перпендикулярно оси ОХ.

Для нахождения объема надо:

1). Выбрать удобным способом ось ОХ.

2). Определить границы расположения этого тела относительно оси.

3). Построить сечение данного тела плоскостью перпендикулярно оси ОХ и проходящей через соответственную точку.

4). Выразить через известные величины функцию, выражающую площадь данного сечения.

5). Составить интеграл.

6). Вычислив интеграл, найти объем.

Объем фигур вращения

Тело, полученное в результате вращения плоской фигуры, относительно какой-то оси, называют фигурой вращения.

Функция S(x) у фигуры вращения есть круг.

Sсеч = pr2

Sсеч(x)=p f 2(x)

b

V= ò f 2(x)

a

Длина дуги плоской кривой

Пусть на отрезке [a;b] функция y = f(x) имеет непрерывную производную y’ = f ’(x). В этом случае длину дуги l “куска” графика функции y = f(x), xÎ[a;b] можно найти по формуле

b

l = ò Ö(1+f’(x)2)dx

a

Список литературы

1. М.Я.Виленкин, О.С.Ивашев–Мусатов, С.И.Шварцбурд, “Алгебра и математический анализ”, Москва,1993г.

2. “Сборник задач по математическому анализу”, Москва,1996г.

3. И.В.Савельев, “Курс общей физики”, том 1, Москва, 1982г.