при t=0, j=0. (15)

Кроме того, при движении из точки A будет ; извлекая из обеих частей равенства (13) квадратный корень, получим:

. Разделяя здесь переменные, будем иметь:

. (16)

Так как

, , то

. Подставляя этот результат в уравнение (16), получаем:

. (17)

Чтобы проинтегрировать уравнение (17), нужно найти квадратуру левой части. Для этого перейдём от j к новым переменному a, полагая:

, где . (18)

Тогда

, откуда

. Кроме того,

. Подставляя все эти величины в уравнение (17) и заменяя w его значением (3), получим:

. (19)

По принятым начальным условиям (15) при t=0 угол j=0, а следовательно, как видно из (18), и a=0. Тогда, беря от обеих частей уравнения (19) определённые интегралы справа от 0 до t, а слева от 0 до a, получим закон движения маятника в виде

. (20)

Интеграл, стоящий в левой части равенства (20), представляет собой эллиптический интеграл первого рода. Величина k называется модулем эллиптического интеграла. Этот интеграл есть функция верхнего предела и модуля, т.е.

. (21) Если в равенстве (21) рассматривать верхний предел a как функцию от интеграла u, то такая функция носит название амплитуды u и обозначается так:

, или

. (22)

Беря от обеих частей равенства (22) синус, мы получим:

. (23)

Функция snu (синус-амплитуда u) представляет собой так называемую эллиптическую функцию Якоби. Поскольку, согласно уравнению (20), , то, переходя в равенстве (23) от a к j с помощью формулы (18), найдём закон движения маятника, выраженный эллиптическую функцию sn, в виде

. (24)

Период колебаний

Найдём период T колебания маятника. Из положения j = 0 в положение j = j0 маятник приходит за четверть периода. Так как, согласно равенству (18), при j = 0 и a = 0, а при j = j0 величина , то из уравнения (20) имеем:

. (25)

Таким образом, определение периода колебаний маятника сводится к вычислению величины

, (26) представляющий собой четверть периода эллиптического интеграла (21).

Известно (формула Валлиса), что

. (27) Разлагая в выражении (26) подынтегральную функцию в ряд, получим:

. Тогда, используя формулу (27), будем иметь:

.(28) Подставляя это значение K в равенство (25) и учитывая, что

, получим для периода колебаний плоского математического маятника выражение

. (29)

Следовательно, чем больше j0 (угол размаха), тем больше период колебания маятника. Таким образом, математический маятник свойством изохронности не обладает. Если при малых размерах ограничиться в формуле (29) только двумя первыми членами, то, полагая , получим приближённое выражение периода

. (30)

Выводы

1.Получено уравнение простого гармонического колебания, закон движения для малых колебаний, заокн движения маятника через эллиптическую функцию.

2.Получено выражение для периода колебаний маятника.

Литература

1.Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. М.: Наука. 1969.

2.Боровой А., Херувимов А. Колебания и маятники. Ж. Квант. № 8, 1981.