Поля бит можно представить как вектора, каждая компонента которых принимает значения из GF(2). Такие вектора удобно рассматривать как многочлены:

(10010101)=x7+x4+x2+1.

Неразложимость многочлена: над полем комплексных чисел любой многочлен разложим на линейные множители или, по-другому имеет столько корней, какова его степень. Однако это не так для других полей - в полях действительных или рациональных чисел многочлен x2+x+1 корней не имеет. Аналогично, в поле GF(2) многочлен x2+x+1 тоже не имеет корней.

Теперь рассмотрим вопрос использования полиномов в практике вычислений на ЭВМ. Рассмотрим электронную схему деления данных в поле из n бит на полином:

F(x)=c0+c1x+ .+cnxN

Получаемая последовательность будет выражена формулой:

S(x)=a(x)/f(x), где a(x) - исходные данные, f(x) - соответствующие коэффициенты многочлена.

Естественно, что желательно получить как можно более длинный период последовательности от многочлена заданной степени, а максимально возможная ее длина - 2N-1 в GF(2N). Последовательности максимальной длины формируются по правилу: Если многочлен f(x) степени n делит многочлен xK-1 лишь при K>2N-1, то период его любой ненулевой последовательности равен 2N-1. Существуют таблицы коэффициентов м-последовательностей.

Свойства м-последовательностей:

1.В каждом периоде последовательности число 1 и 0 отличается не более, чем на единицу.

2.Среди групп из последовательных 1 и 0 в каждом периоде половина имеет длительность в один символ, четвертая часть имеет длительность в два символа, восьмая часть имеет длительность в четыре символа и т.д.

3.Корреляционная функция последовательности имеет единственный значительный пик амплитуды 1 и при всех сдвигах равна 1/m (m- длина последовательности).

Корреляция между векторами вычисляется по формуле:

Где А - число позиций, в которых символы последовательностей x и y совпадают, а В - число позиций, в которых символы последовательностей x и y различны.

Генератор псевдослучайных чисел

В данном случае можно воспользоваться относительно простым методом генерации псевдослучайной последовательности: а именно - анализом тепловых шумов стабилитрона, работающего в режиме пробоя. Шумы усиливаются и подаются на триггер Шмидта, а затем передавая полученные биты в регистр сдвига. Поскольку тепловые шумы имеют достаточно случайный характер, то и последовательность будет случайной.

Формирование кода

Для формирования кода используется 5-разрядный первичный ключ, получаемый из генератора псевдослучайных чисел. Таким образом, на начальном этапе формирования ключа мы имеем количество комбинаций 25-2=30 (-2 поскольку комбинация 00000 является недопустимой). Потом первичный ключ подается на два генератора (два для увеличения количества кодов - см. ниже), вырабатывающие по этому ключу 31-разрядные м-последовательности. Эти последовательности перемножаются по модулю 2, циклически сдвигаясь, и образуя два вложенных цикла, выдают 312 вариантов ключа. Итого, общее число допустимых комбинаций составляет 30*312 .

Эти 312 вариантов хранятся в ОЗУ базового аппарата. Выбор одного ключа осуществляется путем повторного обращения к генератору псевдослучайных чисел. Итого, получаем неплохую для данных условий криптографической защиты цифру 30*313=~900000 комбинаций, не говоря о том, что надо еще догадаться, какой метод применяется для кодирования. При этом статистические свойства данной последовательности практически не отличаются от м-последовательности.

Схема формирования кода