§1. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

1п. Общий вид нелинейного уравнения

F(x)=0

Нелинейные уравнения могут быть двух видов:

1. Алгебраические anxn + an-1xn-1 +… + a0 = 0

2. Трансцендентные- это уравнения в которых х является аргументом тригонометрической, логарифмической или показательной функции.

Значение х0 при котором существует равенство f(x0)=0 называется корнем уравнения.

В общем случае для произвольной F(x) не существует аналитических формул определения корней уравнения. Поэтому большое значение имеют методы, которые позволяют определить значение корня с заданной точностью. Процесс отыскания корней делиться на два этапа:

1. Отделение корней, т.е. определение отрезка содержащего один корень.

2. Уточнение корня с заданной точностью.

Для первого этапа нет формальных методов, отрезки определяются или табуляцией или исходя из физического смысла или аналитическими методами.

Второй этап, уточнение корня выполняется различными итерационными методами, суть которых в том, что строится числовая последовательность xi сходящихся к корню x0

Выходом из итерационного процесса являются условия:

1. │f(xn)│≤ε

2. │xn-xn-1│≤ε

рассмотрим наиболее употребляемые на практике методы: дихотомии, итерации и касательных.

2 п. Метод половинного деления.

Дана монотонная, непрерывная функция f(x), которая содержит корень на отрезке [a,b], где b>a. Определить корень с точностью ε, если известно, что f(a)*f(b)<0

Суть метода

Данный отрезок [a,b] делится пополам, т.е. определяется x0=(a+b)/2, получается два отрезка [a,x0] и [x0,b], далее выполняется проверка знака на концах, полученных отрезков для отрезка, имеющего условия f(a)*f(x0)≤0 или f(x0)*f(b)≤0 снова проводится деление пополам координатой х, снова выделение нового отрезка и так продолжается процесс до тех пор пока │xn-xn-1│≤ε

Приведем ГСА для данного метода

3п. Метод итерации.

Дана непрерывная функция f(x), которая содержит единственный корень на отрезке [a,b], где b>a. Определить корень с точностью ε.

Суть метода

Дано f(x)=0 (1)

Заменим уравнение (1) равносильным уравнением x=φ(x) (2). Выберем грубое, приближенное значение x0 , принадлежащее[a,b], подставим его в правую часть уравнения (2), получим:

x1= φ(x0) (3) , далее подставим х1 в правую часть уравнения (3) получим: x2= φ(x1) (4) x3= φ(x2) (5)

Проделаем данный процесс n раз получим xn=φ(xn-1)

Если эта последовательность является сходящейся т.е. существует предел

x* =lim xn , то данный алгоритм позволяет определить искомый корень.

Выражение (5) запишем как x*= φ(x*) (6) Выражение (6) является решением выражения (2), теперь необходимо рассмотреть в каких случаях последовательность х1…хn является сходящейся. Условием сходимости является если во всех токах x принадлежит [a,b] выполняется условие:

Приведем ГСА для метода итерации:

4 п. Метод касательных (Ньютона).

Дана непрерывная функция f(x), которая содержит единственный корень на отрезке [a,b], где b>a при чем определены непрерывны и сохраняют знак f`(x) f``(x). Определить корень с точностью ε.

Суть метода

1. Выбираем грубое приближение корня х0 (либо точку a, либо b)

2. Наити значение функции точке х0 и провести касательную до пересечения с осью абсцисс, получим значение х1

3.

Определить значение функции в точке х1, через эту точку провести касательную получим точку х2

4.

Повторим процесс n раз

Если процесс сходящийся то xn можно принять за искомое значение корня Условиями сходимости являются:

│f(xn)│≤ε

│xn-xn-1│≤ε

Приведем ГСА метода касательных:

5п. Задание для РГР

Вычислить корень уравнения

На отрезке [2,3] с точностью ε=10-4 методами половинного деления, итерации, касательных.

6 п. Сравнение методов

Эффективность численных методов определяется их универсальностью, простотой вычислительного процесса, скоростью сходимости.

Наиболее универсальным является метод половинного деления, он гарантирует определение корня с заданной точностью для любой функции f(x), которая меняет знак на [a,b]. Метод итерации и метод Ньютона предъявляют к функциям более жесткие требования, но они обладают высокой скоростью сходимости.

Метод итерации имеет очень простой алгоритм вычисления, он применим для пологих функций. Метод касательных применим для функций с большой крутизной, а его недостатком является определение производной на каждом шаге.

ГСА головной программы, методы оформлены подпрограммами.

Программа по методам половинного деления, итерации и метода Ньютона.

CLS ‑

a = 2: b = 3: E = .0001

DEF FNZ (l) = 3 * SIN(SQR(l)) + .35 * l - 3.8

F1 = FNZ(a): F2 = FNZ(b)

IF F1 * F2 > 0 THEN PRINT "УТОЧНИТЬ КОРНИ": END

GOSUB 1

x0 = a

IF ABS((-3 * COS(SQR(x))) / (.7 * SQR(x))) > 1 THEN PRINT "НЕ СХОДИТСЯ"

DEF FNF (K) = -(3 * SIN(SQR(x)) - 3.8) / .35

GOSUB 2

x0 = b

F = FNZ(x0)

DEF FND (N) = (3 * COS(SQR(N)) / (2 * SQR(N))) + .35 _ IF F * (-4.285 * (-SQR(x0) * SIN(SQR(x)) - COS(SQR(x))) / (2 * x * SQR(x))) < then print “не сходится”:end

GOSUB 3

END

'=========Метод половинного деления========