Пример: Объем конуса в два раза больше объема вписанного в него шара. Найти угол между образующей и плоскостью основания конуса.

Решение: Построим схематическую запись задачи - модель конуса. Для этого проведем сечение конуса с вписанным в него шаром плоскостью, проходящей через ось конуса (осевое сечение). В сечении получим равнобедренный треугольник с вписанной в него окружностью. Так как боковая сторона этого треугольника есть образующая конуса, а высота треугольника есть ось конуса, перпендикулярная к плоскости основания конуса, то угол между боковой стороной и основанием треугольника есть искомый угол между образующей и плоскостью основания.

Дано:

АВМ - осевое сечение конуса

АМ = ВМ, МК^АВ.

W(О,ОК) – осевое сечение шара

= 2

Найти: угол МАК - ?

Полученная наглядная модель облегчает поиск плана решения задачи. Далее по известным формулам найдем объем конуса и шара.

VK=1/3•АК2•МК ; Vш=4/3π•ОК3

По условию имеем VK : Vш=1/3•АК2•МК : 4/3π•ОК3. Отсюда можно перейти к следующему равенству: АК2•МК : 4π•ОК3 = 2 (1)

Выразим все отрезки входящие в равенство (1) через угол МАК = х и отрезок АК=у.

Из ∆АМК находим МК = АК•tg(МАК) = y•tg(x) (2)

Из ∆АОК находим ОК = АК•tg(AOK)

Очевидно, ОА есть биссектриса угла МАК, поэтому

ОК = y•tg(x/2) (3)

Подставим найденные выражения из (2),(3) в (1).

У2•У•tg(x) : 4•(y•tg(x))3 = 2 получаем tg(x) = 8•tg3(x/2)

Это тригонометрическое уравнение есть модель исходной задачи при условии, что 0O < Х < 90О. Решив уравнение при этом условии, получим ответ задачи.

2.2 Заключение.

В этой работе были рассмотрены несколько методов решения задач и особенности каждого из них в преподавании школьного курса математики. Был произведен анализ некоторой методической и школьной литературы с точки зрения изучения общих методов решения задач в школе на уроках математики. В результате можно заключить, что в школьном курсе нет четкого разделения методов, в том смысле, что авторы школьных учебников не дают напрямую схему какого либо метода. Большинство учебников построено, так что при решении определенного рода заданий используется по сути один метод, наиболее удобный. Недостаток такого подхода состоит в том что учащийся столкнувшись с задачей подобного рода, решает её этим методом, а если ответ получить не удается, попадает в своего рода тупик.

Поэтому, решая задачи определённого типа, пусть даже наиболее удобным методом не стоит забывать о других способах её решения.

Следует также отметить что, решая любую задачу необходимо четко представлять план её решения.

3.1 Список литературы.

1) Фридман Л.М. Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. М. Просвещение. 1984.

2) Колягин Ю.М. Оганесян В.А. Учись решать задачи. М. Просвещение. 1980.

3) Материалы интернет сайта http://fmi.asf.ru/library/MPM по методике преподавания математики. Анжеро-Суджинского филиала Кемеровского Государственного Университета.

4) Р.С.Черкасов, А.А.Столяр Методика преподавания математики.

5) Репьев В.В. Методика преподавания математики. М. Просвещение. 1958.