Оглавление.

I. Основные понятия в геометрии Евклида и в современной геометрии.

II. Аксиомы в «Началах» Евклида

III. Открытие неевклидовой геометрии.

IV. Из истории неевклидовой геометрии.

V. Заключение.

VI. Библиография.

VII. Приложение.

Геометрия – это одна из древнейших наук. Исследовать различные пространственные формы издавна побуждало людей их практическая деятельность. Древнегреческий ученый Эвдем Родосский в IV веке до нашей эры писал: «Геометрия была открыта египтянами, и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нил, постоянно смывавшей границы. Нет ничего удивительного, что эта наука, как и другие, возникла из потребности человека».

Многие первоначальные геометрические сведения получили также шумеро-вавилонские, китайские и другие ученые древнейших времен. Устанавливались они сначала только опытным путем, без логических доказательств.

Как наука, геометрия впервые сформировалась в Древней Греции, когда геометрические закономерности и зависимости, найденные ранее опытным путем, были приведены в надлежащую систему и доказаны.

В III веке до нашей эры греческий ученый Евклид привел в систему известные ему геометрические сведения в большом сочинении «Начала». Эта книга более двух тысяч лет служила учебником геометрии во всем мире.

В своей курсовой работе я хочу показать, что кроме геометрии, которую изучают в школе ( Геометрии Евклида или употребительной геометрии), существует еще одна геометрия, геометрия Лобачевского.

Эта геометрия существенно отличается от евклидовой, например, в ней утверждается, что через данную точку можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной прямой, что сумма углов треугольника меньше 180°. В геометрии Лобачевского не существует прямоугольников, подобных треугольников и так далее.

Неевклидова геометрия появилась вследствие долгих попыток доказать V постулат Евклида, аксиому параллельности. Эта геометрия во многом удивительна, необычна и соответствует нашим привычным представлениям о реальном мире. Но в логическом отношении данная геометрия не уступает геометрии Евклида.

Начала Евклида служили на протяжении более 2000 лет образцом строгого дедуктивного изложения геометрии.

Однако в 19 веке после открытия геометрии Лобачевского – Бояй, а затем геометрии Римана и в связи с пересмотром основ математического анализа, предпринятого Больцано, Каши, Абелем Гауссом и другими учеными, логическое построение «Начал» Евклида стало подвергаться критике. В системе построения было обнаружено много логических дефектов, часть которых была заменена еще в древности. Это касается в первую очередь основных понятий геометрии и евклидовых определений.

Определение нового понятия состоит в раскрытии его содержания в перечислении его существенных признаков (свойств) с помощью других ранее определенных понятий и т.д. В конце концов, мы должны дойти до некоторых, обычно самых простых и немногих понятий, которые являлись исходными, уже логически прямо не определяются, а принимают за основные понятия. Без выделения основных понятий операция логического определения всех других понятий вообще была бы бессмысленной.

Определения, изложенные в «Началах» Евклида, не удовлетворяют требованиям современной науки. Вот некоторые из 23 определений, которыми начинается первая книга «Начал».

1. Точка есть то, что не имеет частей (такое аналитическое определение точки, по- видимому, заимствовано Евклидом у предшественников и восходит к Демокриту).

2. Линия есть длина без ширины.

3. Границы линии суть точки.

4. Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам.

5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

6. Границы поверхности суть линии.

7. Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямым, на ней лежащим.

8. Плоский угол есть взаимное наклонение двух встречающихся линий, расположенных в одной плоскости.

Такие определения нельзя считать логически конкретными. Во-первых, в

этих определениях употребляются такие понятия (часть, длина, ширина, граница и т.д.), которые сами должны быть определены. Во-вторых, идея основных понятий (в современном смысле) у Евклида вообще отсутствует. В-третьих, некоторые его определения туманны и непонятны, например, 4 и 7. Вообще же определения Евклида являются лишь описанием геометрических образов, и, как правило, для доказательства теорем он ими не пользовался.

При дедуктивном построении геометрии, как и любой другой науки, следует исходить не только из основных неопределенных понятий, но также из некоторых немногих и простых утверждений, то есть недоказуемых предложений, называемых иногда постулатами (требованиями), чаще же аксиомами (аксиома – греческое слово, означающее «бесспорное положение», а также «почитаемое»), с тем, чтобы, основываясь на них, можно было строго логически обосновать, то есть доказать все другие предложения, называемые уже теоремами (Этот термин был введен Аристотелем, его употреблял не Евклид, а его комментаторы. Первоначальный смысл этого греческого слова был «рассматриваемое»).

У Евклида постулаты и аксиомы, которые он не отождествлял (у него постулаты носят чисто геометрический характер) следуют за выше названными определениями. Вот они:

Постулаты.

1. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.

2. И, чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.

3. И, чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.

4. И, чтобы все прямые углы были равны.

5. И, чтобы всякий раз, когда прямая образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Аксиомы.

1. Равные порознь третьему равны между собой.

2. И если к равным прибавить равные, то получим равные.

3. И если от равных отнимем равные, то получим равные.

4. И если к неравным прибавим равные, то получим не равные.

5. И если удвоим равные, то получим равные.

6. И половины равных, равны между собой.

7. И совмещающиеся равны.

8. И целое больше части.

9. И две прямые не могут заключить пространства.

Важнейшим недостатком системы евклидовых аксиом, включая и его постулаты, является ее неполнота, то есть недостаточность их для строго логического построения геометрии, при котором каждое предложение, если оно не фигурирует в списке аксиом, должно быть логически выведено из последних. Поэтому Евклид при доказательстве теорем не всегда основывался на аксиомах, а прибегал к интуиции, к наглядности и «чувственным» восприятиям. Например, понятию «между» он приписывал чисто наглядный характер; он молчаливо предполагал, что прямая, проходящая через внутреннюю точку окружности, непременно должна пересечь ее в двух точках. При этом он основывался только на наглядности, а не на логике; доказательства этого факта он нигде не дал, и дать не мог, так как у него отсутствовали аксиомы непрерывности. Нет у него и некоторых других аксиом, без которых строго логическое доказательство теорем невозможно.