Подход с позиции грубой силы

Современные компьютеры успевают за долю секунды произвести больше арифметических операций, чем Ферма сделал за всю свою жизнь. Те математики, которые все еще вели неравную борьбу с Великой теоремой Ферма, начали компьютерную атаку на проблему, полагаясь на компьютерную версию подхода, развитого Куммером в XIX веке. С появлением компьютера большому объему вычислений, связанных с доказательством Великой теоремы Ферма, стало возможно противопоставить быстродействие вычислительных машин. И после второй мировой войны группы программистов и математиков доказали Великую теорему Ферма при всех значениях n до 500, затем до 1000, а позже до 10000. В 80-е годы Сэмюэль С. Вагстафф из университета Пурду поднял предел до 25 000, а совсем недавно математики заявили, что Великая теорема Ферма верна при всех значениях n до 4 миллионов.

И хотя нематематикам могло бы показаться, что положение с доказательством Великой теоремы Ферма, наконец, стало лучше, математическое сообщество сознавало, что успех носит чисто косметический характер. Даже если бы суперкомпьютеры провели десятилетия в непрерывных вычислениях, доказывая Великую теорему Ферма при значениях n одно за другим, то и тогда им не удалось бы доказать теорему для каждого значения n до бесконечности, и поэтому никто не мог бы утверждать, что Великая теорема Ферма доказана во всей общности. Ведь даже если бы теорему удалось доказать для n до миллиарда, то и тогда не было бы никаких причин, по которым она должна была бы быть верна для n, равного миллиарду плюс один. Если бы теорему удалось доказать для n до триллиона, то нет причин, по которым она должна была бы быть верна для n, равного триллиону плюс один, и т.д. до бесконечности. Бесконечность недостижима за счет одной лишь грубой силы — перемалывания чисел с помощью компьютера.

Уход в абстракцию

Танияма родился 12 ноября 1927 года в небольшом городке в нескольких километрах к северу от Токио. Он не отличался особенно крепким здоровьем, часто хворал, а став подростком, заболел туберкулезом и пропустил два года в средней школе. Разразившаяся война вызвала еще более продолжительный перерыв в его образовании.

Горо Шимура, бывший на один год младше Таниямы, вынужден был совсем не учиться в военные годы. Его школу закрыли, и вместо уроков Шимура был вынужден работать на заводе, собирая детали самолетов. Каждый вечер он пытался самостоятельно заниматься по школьной программе. Особенно его влекла математика. «Разумеется, приходилось изучать многие предметы, но особенно легко мне давалась математика. Я запоем читал учебники математики. По учебникам я выучил математический анализ. Я никогда не думал, будто обладаю какими-то способностями к математике. Просто мне было интересно».

Через несколько лет после окончания войны Шимура и Танияма были уже студентами университета. Хотя Шимура был не чужд некоторых причуд (он и поныне питает слабость к анекдотам о мудрецах, проповедующих дзен-буддизм), он был более консервативен и традиционен, чем его коллега. Шимура поднимался на рассвете и сразу же приступал к работе. Танияма же частенько не ложился спать, проработав всю ночь напролет. Те, кто заглядывал днем к нему в номер, нередко заставали его спящим. Шимура был скрупулезен и строг, Танияма небрежен, почти ленив. Одна вышедшая из моды тема, а именно, исследование модулярных форм, казалась особенно привлекательной Танияме и Шимуре, Модулярные формы — один из самых причудливых и чудесных объектов в математике. Современный специалист по теории чисел Эйхлер причислил их к одной из пяти фундаментальных операций, т.е. умение обращаться с модулярными формами он считал настолько же важным, как и выполнение четырех действий арифметики. Надо сказать, что далеко не все математики уверенно чувствуют себя, сталкиваясь с этой пятой операцией, в отличие от первых четырех, где они считают себя мастерами.

К сожалению, ни нарисовать, ни даже наглядно представить себе модулярную форму невозможно. Модулярную форму можно представлять себе как функцию, область определения которой находится в двух измерениях, но область значений которой также двумерна. Поэтому если бы мы хотели посмотреть на график такой функции, то он оказался бы в четырехмерном пространстве. Отличительной особенностью модулярных форм является их необычайно высокий уровень симметрии, бесконечная, неисчерпаемая симметрия. Модулярные формы можно подвергать трансляциям (параллельным переносам, или сдвигам), перестраивать, переставлять фрагменты, отражать в зеркалах и поворачивать бесконечно многими способами, и при этом они останутся неизменными, что делает их наиболее симметричными математическими объектами.

В сентябре 1955 года в Токио состоялся международный симпозиум. Для молодых японских математиков это была уникальная возможность продемонстрировать остальному миру свои результаты. Они распространили среди участников симпозиума подборку из тридцати шести задач, связанных с той проблемой, над которой они работали. Четыре задачи были предложены Таниямой и указывали на любопытную связь между модулярными формами и эллиптическими кривыми. Эти невинные задачи в конце концов привели к перевороту в теории чисел.

Название «эллиптические кривые» способно ввести в заблуждение потому, что они не эллипсы и даже не кривые в обычном смысле слова. Речь, скорее, идет об уравнениях вида

y2 = x3 + ax2 + bx + c,

где a, b, c — некоторые числа.

Свое название эллиптические кривые получили потому, что некоторые функции, тесно связанные с этими кривыми, потребовались для измерения длин эллипсов (а, следовательно, и длин планетных орбит). Уравнения такого вида называются кубическими. Проблема эллиптических кривых, как и проблема доказательства Великой теоремы Ферма, заключается в вопросе, имеют ли соответствующие им уравнения целочисленные решения, и если имеют, то сколько.

Осенью 1984 года избранная группа специалистов по теории чисел собралась на симпозиум в Обервольфахе, небольшом городке в Германии, в Шварцвальде. Участники симпозиума намеревались обсудить успехи в изучении эллиптических кривых. Естественно, что некоторые из докладчиков собирались сделать сообщения о продвижениях, которые им удалось достичь при исследовании гипотезы Таниямы–Шимуры. Один из выступавших, математик из Саарбрюкена Герхард Фрей высказал весьма примечательное утверждение. По его мнению, если бы кому-нибудь удалось доказать гипотезу Таниямы–Шимуры, то тем самым была бы доказана и Великая теорема Ферма. Это утверждение было впоследствии доказано профессором Калифорнийского университета Кеном Рибетом.

Задача на всю жизнь

Однажды по дороге из школы домой Эндрю Уайлс решил заглянуть в библиотеку на Милтон-роуд. По сравнению с библиотеками университетских колледжей эта библиотека была довольно бедной, но выбор книг по занимательной математике в ней был богатым, и эти книги часто привлекали внимание Эндрю. Их страницы были до отказа заполнены всякого рода научными курьезами и задачами-головоломками, и на каждый вопрос существовал готовый ответ, заботливо помещенный где-нибудь в конце книги. Но на этот раз Эндрю выудил книгу, в которой речь шла лишь об одной-единственной задаче, и решение ее не приводилось.