Оглавление:

1. Введение

2. Множества в Евклидовом пространстве

Основные метрические понятия

а) Угол между векторами

б) Неравенство треугольника

3. Комплексные пространства со скалярным произведением

Скалярное произведение (Основные метрические понятия)

а) Неравенство Коши–Буняковского

б) Неравенство треугольника

Введение

Коши Огюстен Луи (1789—1857) — знаменитый французский математик. Доказал ряд замечательных теорем в области анализа, теории функций комплексного переменного, теории дифференциальных уравнений и т. д. Большая заслуга Коши — разработка курса анализа, в котором, в частности, он предложил ставшие классическими определения предела, непрерывности функции и т. п.

Решительный шаг к созданию прочного фундамента анализа был сделан в 20-е годы прошлого века французским математиком О. Коши (1789—1857), предложившим точные определения пределов функции и последовательности и на их основе доказавшим многие фундаментальные теоремы анализа. Несколько раньше (1821 г.) определения предела и непрерывности, целый ряд других замечательных результатов (в том числе знаменитый пример функции, непрерывной на промежутке, но не имеющей производной ни в одной его точке) получил чешский математик Б. Больцано (1781 —1848), но его работы стали известны много позднее.

Определение предела функции по Коши формулируется так: «Число А называется пределом функции f (х) при х, стремящемся к а (т.е. ), если для любого числа можно подобрать такое число >0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0< | x—а |< ».

Опираясь на это определение, уже нетрудно дать определение непрерывности в точке: функция f непрерывна в точке x0 если limf(x)=f(x0)

Формулировка определения предела последовательности такова: «Число А является пределом последовательности если для любого существует номер N, такой, что при всех n>N верно неравенство | ».

О. Л. Коши внес также большой вклад в развитие математического анализа. О. Л. Коши хорошо известен каждому человеку, изучавшему математический анализ своими результатами в области математического анализа.

Множества в Евклидовом Пространстве

Основные метрические понятия

п.1 Угол между векторами. Угол между парой векторов x и y мы будем называть тот угол (в пределах от 0 до 1800), косинус которого равен отношению .

Чтобы это определение можно было применить в общем евклидовом пространстве, необходимо доказать, что указанное отношение по абсолютной величине не превосходит единицы, каковы бы ни были векторы x и y.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим векторы , где – вещественное число. В силу аксиомы о положительно определенной форме скалярного произведения векторов при любом

.

Используя формулу

,

мы можем написать это неравенство в виде

.

В левой части неравенства стоит квадратный трехчлен относительно с постоянными коэффициентами. Трехчлен этот не может иметь различных вещественных корней, так как тогда он не мог бы сохранять знака для всех значений . Поэтому дискриминант этого трехчлена не может быть положительным. Следовательно,

,

откуда ,извлекая квадратный корень, получаем

, (1)

что и требовалось.

Неравенство (1) называют неравенством Коши–Буняковского.

Примеры.

а) В пространстве V3 неравенство Коши–Буняковского, очевидно, вытекает из самого определения скалярного произведения как произведение длин векторов и косинуса угла между ними.

б) В пространстве Rn неравенство Коши–Буняковского имеет вид

;

оно справедливо для любой пары векторов и или, что-то же самое, для любых двух систем вещественных чисел и .

в) В пространстве R2(a,b) неравенство Коши–Буняковского имеет вид

.

Рассмотрим более подробно неравенство Коши в пространстве Rn. Для начала дадим определение n–мерного евклидового пространства Rn

Def. n–мерное точечное пространство, в котором расстояние между точками определено по данной формуле , называется n–мерным евклидовым пространством и обозначается Rn.

Ясно, что тогда и только тогда, когда x = y, т. е. когда при всех i = 1, 2, …,n. Также ясно, что . Докажем, что для любых трех точек

(2)

Это неравенство в двумерном или трехмерном пространстве выражает тот элементарный геометрический факт, что сумма двух сторон треугольника не меньше третьей стороны*, и потому называется неравенством треугольника. Также данное неравенство является одним из аксиом метрического пространства и называется аксиомой треугольника

Предварительно установим важное неравенство Коши

, (3)

справедливо для любых вещественных чисел ai и bi. Простое доказательство этого неравенства основывается на следующем замечании: если квадратный трехчлен Ax2+2Bx+C с вещественными коэффициентами неотрицателен при всех вещественных x, то его дискриминант *. Составим вспомогательную функцию от вещественной переменной x, сводящуюся к квадратному трехчлену: