Л. г. продолжает разрабатываться многими геометрами; в ней изучаются: решение задач на построение, многогранники, правильные системы фигур, общая теория кривых и поверхностей и т. п. Ряд геометров развивали также механику в пространстве Лобачевского. Эти исследования не нашли непосредственных применений в механике, но дали начало плодотворным геометрическим идеям. В целом Л. г. является обширной областью исследования, подобно геометрии Евклида.

Геометрия Римана

Римана геометрия, эллиптическая геометрия, одна из неевклидовых геометрий, т. е. геометрическая теория, основанная на аксиомах, требования которых (в значительной части) отличны от требований аксиом евклидовой геометрии. Основными объектами, или элементами, трёхмерной Р. г. являются точки, прямые и плоскости; основные понятия Р. г. суть понятия принадлежности (точки прямой, точки плоскости), порядка (например, порядка точек на прямой или порядка прямых, проходящих через данную точку в данной плоскости) и конгруэнтности (фигур). Требования аксиом Р. г., касающиеся принадлежности и порядка, полностью совпадают с требованиями аксиом проективной геометрии. Соответственно, в Р. г. имеют место, например, следующие предложения: через каждые две точки проходит одна прямая, каждые две плоскости пересекаются по одной прямой, каждые две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются (в одной точке), точки на прямой расположены в циклическом порядке (как и прямые, лежащие в одной плоскости и проходящие через одну точку). Требования аксиом Р. г., касающиеся конгруэнтности, сходны с требованиями соответствующих аксиом геометрии: во всяком случае они обеспечивают движения фигур по плоскости и в пространстве Римана столь же свободные, как на плоскости и в пространстве Евклида. Метрические свойства плоскости Римана «в малом» совпадают с метрическими свойствами обыкновенной сферы. Точнее: для любой точки плоскости Римана существует содержащая эту точку часть плоскости, изометричная некоторой части сферы; радиус R этой сферы — один и тот же для всех плоскостей данного пространства Римана. Число К = 1/R2 называется кривизной пространства Римана (чем меньше К, тем ближе свойства фигур этого пространства к евклидовым). Свойства плоскости Римана «в целом» отличаются от свойств целой сферы; так, например, на плоскости Римана две прямые пересекаются в одной точке, а на сфере два больших круга, которые играют роль прямых в сферической геометрии, пересекаются в двух точках; прямая, лежащая на плоскости, не разделяет эту плоскость (т. е., если прямая а лежит в плоскости a, то любые две точки плоскости a, не лежащие на прямой а, возможно соединить отрезком, не пересекая прямой а).

По-видимому, первое сообщение о Р. г. сделано Б. Риманом в его лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (1854, опубликовано в 1867), где Р. г. рассматривалась как частный случай римановой геометрии — теории римановых пространств в широком смысле. Р. г. относится к теории пространств постоянной положительной кривизны.

Приложения неевклидовых геометрий

Лобачевский применил свою геометрию к вычислению определённых интегралов. В теории функций комплексного переменного Л. г. помогла построить теорию автоморфных функций. Связь с Л. г. была здесь отправным пунктом исследований Пуанкаре, который писал, что «неевклидова геометрия есть ключ к решению всей задачи». Л. г. находит применение также в теории чисел, в её геометрических методах, объединённых под названием «геометрия чисел». Была установлена тесная связь Л. г. с кинематикой специальной (частной) теории относительности. Эта связь основана на том, что равенство, выражающее закон распространения света

x2 + y2 + z2 = c2t2

при делении на t2, т. е. для скорости света, даёт

vx2 + vy2 + vz2 = c2

— уравнение сферы в пространстве с координатами vx, vy, vz — составляющими скорости по осям х, у, z (в «пространстве скоростей»). Лоренца преобразования сохраняют эту сферу и, т. к. они линейны, переводят прямые пространства скоростей в прямые. Следовательно, согласно модели Клейна, в пространстве скоростей внутри сферы радиуса с, т. е. для скоростей, меньших скорости света, имеет место Л. г.

Замечательное приложение Л. г. нашла в общей теории относительности. Если считать распределение масс материи во Вселенной равномерным (это приближение в космических масштабах допустимо), то оказывается, что при определённых условиях пространство имеет Л. г. Т. о., предположение Лобачевского о его геометрии как возможной теории реального пространства оправдалось.

Литература

1. Александров П. С., Что такое неевклидова геометрия, М., 1950.

2. Андриевская М. Г., Аналитическая геометрия в пространстве Лобачевского, К., 1963.

3. Делоне Б. Н., Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского, М., 1956.

4. Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 5 изд., М., 1971.

5. Каган В. Ф., Лобачевский и его геометрия. Общедоступные очерки, М., 1955; его же, Геометрия Лобачевского и ее предистория, М. — Л., 1949 (Основания геометрии, ч. 1).

6. Клейн Ф., Неевклидова геометрия, пер. с нем., М. — Л., 1936.

7. Лобачевский Н. И., Сочинения по геометрии, М. — Л., 1946—49 (Полн. собр. соч., т. 1—3).

8. Нут Ю. Ю., Геометрия Лобачевского в аналитическом изложении, М., 1961.

9. Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей, М., 1956.

10. Погорелов А. В., Основания геометрии, 3 изд., М., 1968; Розенфельд Б. А., Неевклидовы пространства, М., 1969.

11. Широков П. А., Краткий очерк основ геометрии Лобачевского, М., 1955.