В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов.

Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. По этому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.

“Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств” Л. Карно.

В конце XVIII века, в начале XIX века было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число точкой на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой M, а вектором , идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложение и вычитание комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами. Вектор можно задавать не только его координатами a и b, но так же длиной r и углом  который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом , и число z принимает вид , который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем комплексного числа z и обозначают . Число называют аргументом z и обозначают ArgZ. Заметим, что если , значение ArgZ не определено, а при оно определено с точностью до кратного . Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число z в виде (показательная форма комплексного числа).

Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения.

Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости.

После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании “гиперкомплексных” чисел - чисел с несколькими “мнимыми” единицами. Такую систему вида , где , построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их “кватернионами”.

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев - к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля.

Поняття комплексного числа.

“Подобно тому, как всю область действительных величин можно представить с помощью бесконечной прямой, можно себе представить область всех величин, действи­тельных и мнимых, с помощью бесконечной плоскости, где каждая точка, определенная своей абсциссой а и своей ординатой b, представляет в то же время величину a+ib”.

Гаусс

Рассмотрим множество чисел, каждое из которых определяется упорядоченной парой дей­ствительных чисел. Действительные числа будем обозначать буквами а, b, с, ., а упорядоченные пары действительных чисел — буквами α, β, γ, . и соот­ветственно записывать α=(a, b), β =(c, d) и т. д. Такую упорядоченную пару действительных чисел (a,b) назовем комплексным числом.

Определим действия над упорядоченными парами действительных чисел. Суммой двух упорядоченных пар α= (а, b) и β = (с, d) назовем упорядоченную пару γ = (a+c, b+d):

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (1)

а произведением указанных пар — упорядоченную пару δ = (ас – bd, ad + bc):

(a, b)(c, d) = (ac – bd, ad + bc). (2)

Действия сложения и умножения упорядоченных пар действительных чисел определены аксиома­тически.

Для этих действий существуют обратные дей­ствия — вычитание и деление (кроме деления на нуль). Разностью α — β двух упорядоченных пар α = (a, b) и β = (с, d) назовем такую упорядочен­ную пару (х, y), для которой (с, d) + (x, y) = (a, b). Принимая во внимание равенство (1), получаем с + х = a, d + y = b, откуда x = а – c, y = b – d. Разностью α — β упорядоченных пар α = (а, b) и β = (с, d) является упорядоченная пара (а – c, b – d):

(a, b) – (c, d) = (a – c, b – d). (3)

Нулем служит пара 0 = (0, 0). Упорядоченной парой, противоположной для упорядоченной пары α = (а, b) будет, пара - α = ( -а, -b), так как α + (-α) = (а, b) + (-а, -b) = (0,0) = 0.

Частным от деления упорядоченной пары α = (а, b) на упорядоченную пару β = (с, d), где β 0 или с + d 0 (т. е. хотя бы одно из чисел с, d отлично от нуля) должна быть упорядоченная пара (x, y) такая, что (с, d) (x, y) = (а, b). Отсюда на основании равенства (2) получаем cx – dy = a, cy – dx = b. Из этой системы уравнений находим x и y:

x = , y = .

Итак, если β0, то частное α/β двух упорядоченных пар α = (а, b), β = (с, d) существует и определя­ется формулой: