Содержание

Введение

Способы задания множеств

Операции над множествами

Литература

Введение

Под множеством обычно понимается совокупность, или набор каких-то объектов, имеющих что-то общее, и при этом каждый из них чем-то отличается от другого. Например, множество людей, присутствующих на каком-то мероприятии, множество домов некоторого района города и т.п. Понятие множества является одним из основных понятий математики. Таким же является понятие элемента множества. Это исходные понятия, и поэтому точного определения для них нет. Принадлежность элемента а множеству М обозначается как а Î М. Если же некоторый элемент а не принадлежит множеству М, то это обозначается как а Ï М или а`Î М.

Любое множество может быть элементом другого множества, которое также может быть элементом некоторого множества, и т.д. (множество множеств, множество множеств множеств и т.д.). Иногда для большего благозвучия вместо словосочетания «множество множеств» употребляют «совокупность множеств» или «семейство множеств».

Множество А называется подмножеством множества В, если всякий элемент из А принадлежит множеству В. Этот факт обозначается А Í В (Í - знак включения). При этом говорят, что множество В содержит, или покрывает множество А. Множества А и В равны (А = В), если их элементы совпадают, т.е. А Í В и В Í А. Пустое множество (обозначаемое Æ), т.е. множество, не имеющее ни одного элемента, является подмножеством любого множества, т.е. Æ Í М для любого М. Пустое множество, а также само М являются несобственными подмножествами множества М.

Если А Í В и А ¹ В для некоторого непустого множества А, то А является собственным подмножеством множества В, и это обозначается как А Ì В (Ì - знак строгого включения).

Не следует путать знаки Ì и Î, когда рассматриваются множества множеств. Например, зрительный зал можно рассматривать как множество рядов М, каждый из которых, Мi, представляется как множество кресел. Тогда Мi Î М и для отдельного кресла тj можно записать тj Î Мi. Тот же зрительный зал можно представить как множество М¢ всех находящихся в нем кресел. Тогда для того же Мi имеет место Мi Ì М¢.

Множество всех подмножеств некоторого множества М называется булеаном. Булеан обозначается символом 2М. Среди его элементов находятся само множество М, а также пустое множество Æ.

Множества бывают конечными (содержащими конечное число элементов) и бесконечными. Параметром, характеризующим размер множества, является мощность множества. Для конечного множества М мощностью является число элементов, которое обозначается символом |М|. Мощность бесконечного множества – более сложное понятие. Оно выражается через соответствие.

Мощность булеана множества М равна 2|М|. Действительно, 2Æ = {Æ}, т.е. число элементов булеана пустого множества есть 20 = 1. Добавление к М одного нового элемента каждый раз увеличивает мощность его булеана вдвое (прежние элементы булеана при этом сохраняются, а новые получаются из прежних добавлением к ним данного нового элемента).

Если множества А и В равномощны, т.е. |А| = |В|, то между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Каждому элементу из А ставится в соответствие элемент из В и наоборот. Для бесконечных множеств отношение равномощности устанавливается путем нахождения взаимно однозначного соответствия между их элементами.

Примерами бесконечных множеств служат: N = {1, 2, … } – множество натуральных чисел, Z = { … – 2, – 1, 0, 1, 2, … } – множество целых чисел, R – множество действительных чисел (рациональные и иррациональные числа).

Множества, равномощные с множеством N, называются счетными. Для того, чтобы выяснить, является ли некоторое множество М счетным, надо найти способ установить взаимно однозначное соответствие между М и N, т.е. пронумеровать элементы множества М.

Любое бесконечное подмножество N множества N счетно. Действительно, пусть N Ì N. Выберем в N наименьший элемент и обозначим его п1. Удалим из N элемент п1 и из оставшихся элементов выберем снова наименьший, который обозначим п2, и т.д. Таким образом, можно себе представить, что все элементы бесконечного множества N окажутся пронумерованными.

Множество P положительных рациональных чисел счетно. Любое рациональное число можно представить в виде правильной или неправильной дроби , где а и b – натуральные числа. Образуем внутри множества P классы Р1 = {}, Р2 = {,}, Р3 = {,,}, … . Здесь в i-ом классе (i = 1, 2, …) собраны все , для которых a + b = i + 1. Выстроим последовательность из дробей, принадлежащих классам Pi, сохраняя порядок нумерации этих классов. Дроби, принадлежащие одному и тому же классу, упорядочиваются по возрастанию числителя а. В полученной последовательности любая дробь снабжается номером 1 + 2 + … + (i – 1) + a. Следовательно, множество P счетно.

Примером несчетного множества является множество всех действительных чисел отрезка [0, 1]. Такое множество имеет название континуум. Булеан бесконечного счетного множества также не является счетным множеством.

Способы задания множеств

Перечисление элементов. Это простейший способ задания конечного множества. Например, если множество А состоит из элементов а1, а2, … , ап, то можно записать А = {а1, а2, … , ап}.

Указание свойств элементов. При таком способе задается одно или несколько свойств, по которым определяется принадлежность элементов к данному множеству. Если Р(х) означает, что х обладает свойством Р, то А = {х / Р(х)} есть множество всех тех и только тех элементов, которые обладают свойством Р. Например, М = {х / х = 2k, k Î N} – множество всех чисел, каждое из которых представляет собой число 2 в натуральной степени.

Индуктивный способ. Задается некоторая порождающая процедура, которая определяет способ получения элементов множества из уже полученных элементов. Например, для бесконечного множества М = {1, 2, 4, 8, 16, …} такой определяющей процедурой является следующая: 1) 1 Î М; 2) если т Î М, то 2т Î М.

Алгебраический способ. При этом способе дается формула, по которой можно получить множество из других множеств с помощью алгебраических операций над ними.

Визуальное представление множеств. Множества изображаются на плоскости в виде фигур, называемых диаграммами Эйлера-Венна. Этот способ используется обычно для наглядной демонстрации операций над множествами или отношений между множествами. Пример использования данного способа будет приведен при описании операций над множествами.