Только в VI в. н. э. комментатор Архимеда Евтокий нашел утраченное место. Архимед решает задачу с помощью двух конических сечений:

Параболы

(3)

и гиперболы

(4)

(здесь положено S = pb). Оба уравнения легко получить из пропорции (2). Для выяснения необходимых условий Архимед переходит от пропорции (2) к кубическому уравнению

x2(a-x) = Sc (5)

которое он выражает словесно как соотношение между объемами. Ясно, что уравнение (5) может иметь положительные корни, если

Итак, проблема сводится к нахождению экстремума х2 (а — х).

Оставим пока в стороне вопрос о методе экстремумов Архимеда, мы вер­немся к этому, когда будем говорить об инфинитезимальных методах древ­них. Скажем только, что Архимед полностью исследовал условия сущест­вования положительных вещественных корней уравнения (5), а именно:

1) если Sc < 43/27, то на участке (0, а) имеются два таких корня;

2) если Sc = 4aз/27, то имеется один корень (как сказали бы мы,— двукратный);

3) если Sc > 4aз/27, то корня нет.

Здесь 4а3/27 есть максимум х2 (а — х), достигаемый при х = 2а/3. В конце письма, предпосланного книге «О коноидах и сфероидах» (греки называли сфероидами эллипсоиды вращения, прямоугольными ко­ноидами — параболоиды вращения, а тупоугольными коноидами — по­лости двуполостных гиперболоидов вращения), Архимед пишет, что с по­мощью доказанных в книге теорем можно решить ряд задач, как, напри­мер: от данного сфероида или коноида отсечь сегмент плоскостью, прове­денной параллельно заданной, так, чтобы отсеченный сегмент был равен данному конусу, цилиндру или шару. Перечисленные задачи, так же как и задачи о делении шара, сводятся к кубическим уравнениям, причем в случае тупоугольного коноида уравнение будет иметь вид

x2(a + x)=Sc

Из текста Архимеда можно заключить, что он проанализировал и решил это уравнение. Таким образом, Архимед рассмотрел кубические уравне­ния вида х3 + ax + b = 0 при различных значениях a и b и дал метод их решения. Однако исследование кубических уравнений оставалось для греков трудной задачей, с которой, в ее общем виде никто, кроме Архи­меда, не мог справиться. Решение отдельных задач, эквивалентных ку­бическим уравнениям, греческие математики получали с помощью нового геометрического аппарата конических сечений. Этот метод впоследствии восприняли математики стран ислама, которые сделали попытку прове­сти полный анализ всех уравнений третьей степени.

Но еще до этого, и притом греческими математиками, был сделан но­вый решительный шаг в развитии алгебры: геометрическая оболочка была сброшена, и началось построение буквенной алгебры на основе арифмети­ки. Это произошло в первые века нашей эры.

Литература:

1. «История математики в древности» Э. Кольман.

2. «Решение уравнений в целых числах» Гельфонд.

3. «В мире уравнений» В.А.Никифоровский.

4. «История математики в школе» Г.И.Глейзер.

5. «Рассказы о старой и новой алгебре» И.Депман.

6. «Пифагор: рассказы о математике» Чистаков.

7. «Краткий очерк истории математики» Стройк Д.Я.

8. «Очерки по истории математики» Болгарский Б.В.

9. «История математики» (энциклопедия) под редакцией Юшкевича.

10. «Энциклопедический словарь юного математика» под редакцией Гнеденко.