Если каким-либо способом получено приближенное значение х0 корня уравнения(12.1), то уточнение корня можно осуществить методом последовательных приближений или методом итераций. Для этого уравнение (12.1) представляют в виде:

x= (12.6)

это уравнение всегда можно решить и притом разными способами, например:

x=x+cf(x), (12.7)

где с-произвольная постоянная. Пусть число Х1 есть результат подстановки

х0 в правую часть уравнения (12.6): Х1= (Х0); далее, Х2= (Х1), Х3= (Х2), ,

Хn= (Xn-1) (12.8)

Процесс последовательного вычисления чисел Хn (n=1,2,3,…) по формуле (12.8) называется методом последовательных приближений или методом итераций. Итерационный процесс сходится (lim Xn=E), если на отрезке [a,b], содержащем корень Е и его последовательные приближения, выполнено условие

maх | (х)|<=q<1. (12.9)

Замечание. В качестве Х0 можно взять произвольное значение из интервала, содержащего корень, такой интервал можно сделать достаточно малым.

Пример 1. Методом итераций найти меньший положительный корень уравнения:

Х-5Х+1=0.

Решение. Графически отделяя корни данного уравнения, заключаем, что уравнение имеет три действительных корня, лежащих на отрезках [-3;-2], [0;1],[2; 3]. Найдем меньший положительный корень принадлежащий отрезку [0;1].Укажем отрезок меньшей длины, на котором находится корень. Поскольку f(x)=x-5x+1, f(0)=1>0, f <0, то корень принадлежит отрезку [0;0,5].Данное уравнение приведем к виду (12.6):

Х= или X= (X),

где . Так как , то условие (12.9) выполнено; процесс итераций будет сходиться. Взяв в качестве начального приближения середину отрезка, т.е. пример Х0=0,25, вычисление последующих приближений проведем по формуле:

Хn+1=

Результаты этих вычислений представлены в таблице 12.3, из которой видно, что искомый корень Х=0,20164.

Замечание. При нахождении двух других корней исходного уравнения методом последовательных приближений уже нельзя пользоваться формулой

X= (X3+1) , так как max ½j’(x)½ = max 3x2 = 27 >1,

5 2<|x|<3 2<|x|<3 5 5

и условие (12,9) не выполняется. В этом случае данное уравнение следует представить в другом виде, например, Х= ; для функции

условие (12,9) на отрезках [-3;-2], [2,3] будет выполняться.

Представим выражение f(x)=0 в форме x=Ф(x), что всегда можно сделать разными способами. Выберем на отрезке [a, b] –произвольную точку x0-нулевое приближение. В качестве следующих приближений выберем x1=f(x0), x2=f(x1), …, xn=f(xn-1). Этот процесс последовательного вычисления чисел xn где (n=1,2,3,…)-называется методом итерации. Процесс итерации следует продолжить до тех пор, пока для двух последующих приближений |xn-xn-1|<=E.

Метод отделения корней уравнений.

Корнем уравнения

f(x)=0 (12.1) называется такое значение х=E аргумента, при котором это уравнение обращается в тождество: f(E)=0. Корень уравнения (12,1) геометрически представляет собой абсциссу точки пересечения, точку касания или другой общей точки графика функции у=f(x) и оси Х (12,1).

Отделить корень уравнения – значит найти такой конечный промежуток, внутри которого имеется единственный корень данного уравнения. Отделение корней можно осуществить аналитическим или графическим способом. Для отделения корней уравнения (12,1) применяют следующий критерий: если на отрезке [a,b] функция f(x) непрерывна и монотонна, а ее значение на концах отрезка имеют разные знаки, то этот отрезок содержит один и только один корень уравнения f(x)=0 , остаточным признаком монотонности f(x) на отрезке является сохранение знака её производной (если f’(x)>0, то функция возрастает; если f’(x)<0, функция убывает).

Отделение корней уравнения (12.1) можно выполнить графически, построив график функции f(х), по которому можно судить о том, в каких промежутках находятся точки пересечения его с осью Ох. В некоторых случаях целесообразно представить уравнение (12.1) в эквивалентном виде.

f1(x)=f2(x) (12.2)

С таким расчетом, чтобы графики функций y1=f1(x) и y2=f2(x) строились проще, чем графики f(x). Корень уравнения (12.2) представляет собой абсциссу точки пересечения графиков y1=f1(x),

y2=f2(x). Таким способом можно, например, отделить корни уравнения x3+px+q=0; это будут абсциссы точек пересечения прямой y=-px-q и линии y=x3.

Пример 1. Отделить корни уравнения x3+2x-1=0.

Решение. В данном случае f(x)=x3+2x-1, f’(x)=3x2+2. Поскольку f’(x)>0 при всех x, то функция f(x) возрастает в промежутке (-∞,+∞). Корень считается отдельным, если указан конечный промежуток (a,b), на котором он находится. Методом проб находим отрезок [a,b], для которого f(a) f(b)<0 т.е. на концах отрезка функция f(x) принимает значения разных знаков). Для этого вычислим значения функции при некоторых значениях аргумента:

f(-1)=(-1)3+2(-1)-1=-4<0, f(0)=-1<0, f(1)=1+2-1=2>0. как f(1) f(0)>0, то на отрезке [-1,0] корня нет; поскольку f(-1) f(0)>0, то корень находится на отрезке [0,1].

Замечание 1. Можно указать отрезок меньшей длины, которому принадлежит корень. Взяв середину отрезка [0,1], т.е. положив x=0,5, по формуле:

f(0,5)=(0,5)3+2∙0,5-1>0. Так как f(0) f(0,5)<0, то корень находится на отрезке [0;0,5]. Этот процесс можно продолжать.

Замечание 2. Корень данного уравнения можно отделить и графически. Придадим уравнению вид x3=-2x+1, т.е. вид (12.2), и построим графики функций y=x3 , y=-2x+1 (рис. 12.2). Эти графики пересекаются в точке М, абсцисса которой принадлежит интервалу (0,1).