Страница
1
Выше средней приспособленностью в n -ом поколении была названа величина . Она интерпретировалась, как полная вероятность того, что особь n -ого поколения доживает до этапа размножения. Покажем, что средняя приспособленность -неубывающая функция от номера поколения n. Таким образом, эволюция происходит в сторону возрастания приспособленности популяции, что полностью соответствует теории Ч. Дарвина.
Запишем как функцию от
:
и вычислим ее производные:
,
.
Таким образом, экстремальное значение достигается при
(23)
и является максимумом при и минимумом, если
.
Рассмотрим первый случай, когда . Квадратичная функция
не имеет экстремума на интервале
. Действительно, пусть для определенности
. Тогда из (23) следует, что экстремальная точка
. Для всего интервала
производная
имеет один и тот же знак. При
имеем
. Следовательно, функция
на интервале
монотонно растет. Напомним, что в рассматриваемом случае для траектории
отображения
также монотонно
при
. В результате
. При этом
.
Второй случай подобен первому. Функция
на интервале
не имеет экстремума и монотонно убывает. Согласно полученным ранее результатам, для траектории отображения имеем:
. В результате последовательность
оказывается монотонно растущей:
. При этом
при
.
В третьем случае (,
) экстремальная точка
является точкой максимума, т.к.
.
На интервале функция
монотонна растет, а на интервале
монотонно убывает. Одновременно, точка
, согласно (18), является устойчивым состоянием равновесия
(состояние полиморфизма). Как показано выше, если начальная точка траектории
, то для всех ее точек
. Тем самым, последовательность
монотонно растет. Если же начальная точка
, то
. Тем не менее, последовательность
по-прежнему монотонно растет, в силу монотоного убывания функции
на соответствующем интервале.
Четвертый случай (,
) аналогичен предыдущему. Состояние неустойчивого полиморфизма является точкой минимума для средней приспособленности. Траектории (последовательности
) с начальными условиями
монотонно убывают. Одновременно, на соответствующем промежутке также монотонно убывает функция
. В результате последовательность
монотонно растет. Если же
, то последовательность
монотонно растет, а вместе с ней и последовательность
, т.к. функция
для
монотонно растет.
Рисунок иллюстрирует направление поведение средней приспособленности в рассмотренных случаях.
Отметим, что возрастание средней приспособленности можно доказать непосредственно, не разбирая в отдельности каждый случай. Далее, поскольку средняя приспособленность есть ограниченная величина, можно сделать вывод, что последовательность <

