Условимся в целях краткости и удобства обозначать параллельность прямой АА’ к BB’в направление B’B символом AA’ êê B’B, где порядок букв указывает направление параллельности. На чертеже направление параллельности указывается стрелками.

Теорема1. Если прямая ВВ’êêАА' в точке М, то ВВ'êêАА' в любой своей точке N.

Теорема 2. Если ВВ'êêАА', то и обратно: АА'êêВВ'.

Теорема 3. Если АА'êêСС' и ВВ'êêСС', то АА'êêВВ'.

Теорема 4. Если прямая CC’ лежит между двумя прямыми АА’ и BB’, параллельными в некотором направление, не пересекая их, то CC’параллельна обеим этим прямым в том же направлении.

Теорема 5.Если две прямые при пересечении с третьей образуют равные соответственные углы, или внутренние односторонние углы, в сумме составляющие 2d, то эти прямые расходятся.

Задача 902.(Сборник задач - Атанасян, ч.2) Пусть (U1V1) êê(U2V2). Доказать, что если прямая (UV) лежит между (U1V1) и (U2V2) и не пересекает одну из них, то она параллельна данным.

Действительно, отрезок U1U2, соединяющий любые точки U1 и U2 параллельных прямых U2V2 и U1V1 , пересечет UV в некоторой точке U, ибо UV по условию лежит между U2V2 и U1V1 (теорема 1.18).

В силу параллельности U2V2 и U1V1 любой луч U2E , проходящий внутри угла V2U2U1, пересечёт U1V1, а значит, и UV. Следовательно, U2V2 êê UV. Пользуясь теоремами 2 и 3 , легко убедиться, что U1V1 êêUV.

Интересно отметить, что в геометрии Лобачевского прямая может пересечь две параллельные, не пересекая третьей. Действительно, например, любая прямая EF, расходящаяся с АА’, пересекает СС’и BB’, не пересекая АА’.