Если система ограничений совместна, то по аналогии с трехмерным пространством она образует общую часть n-мерного пространства, называемую многогранником решений, так как координаты каждой его точки являются решением.

Таким образом, геометрически задача линейного программирования представляет собой отыскание такой точки многогранника решений, координаты которой доставляют линейной функции минимальное значение, причем допустимыми решениями служат все точки многогранника решений.

2. Графический метод решения

задачи линейного программирования.

2.1. Область применения.

Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трехмерного простран6тва, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трех изобразить графически вообще невозможно.

Пусть задача линейного программирования задана в двумерном пространстве, т. е. ограничения содержат две переменные.

Найти минимальное значение функции

(2.1) Z = С1х1+С2х2

при

a11x1 + a22x2 b1

(2.2) a21x1 + a22x2 b2

. . . . . . . .

aM1x1 + aM2x2 bM

(2.3) х1 0, х2 0

Допустим, что система (2.2) при условии (2.3) совместна и ее многоугольник решений ограничен. Каждое из неравенств (2.2) и (2.3), как отмечалось выше, определяет полуплоскость с граничными прямыми: ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 = bi,(i = 1, 2, ., n), х1=0, х2=0. Линейная функция (2.1) при фиксированных значениях Z является уравнением прямой линии: С1х1 + С2х2 = const. Построим многоугольник решений системы ограничений (2.2) и график линейной функции (2.1) при Z = 0 (рис. 2.1). Тогда поставленной задаче линейного прграммирования можно дать следующую интерпретацию. Найти точку многоугольника решений, в которой прямая С1х1 + С2х2 = const опорная и функция Z при этом достигает минимума.

Значения Z = С1х1 + С2х2 возрастают в направлении вектора N =(С1, С2), поэтому прямую Z = 0 передвигаем параллельно самой себе в направлении вектора Х. Из рис. 2.1 следует, что прямая дважды становится опорной по отношению к многоугольнику решений (в точках А и С), причем минимальное значение принимает в точке А. Координаты точки А (х1, х2) находим, решая систему уравнений прямых АВ и АЕ.

Если многоугольник решений представляет собой неограниченную многоуголь-ную область, то возможны два случая.

Случай 1. Прямая С1х1 + С2х2 = const, передвигаясь в направлении вектора N или противоположно ему, постоянно пересекает многоугольник решений и ни в какой точке не является опорной к нему. В этом случае линейная функция не ограничена на многоугольнике решений как сверху, так и снизу (рис. 2.2).

Случай 2. Прямая, пере-двигаясь, все же становится опорной относительно многоу-гольника решений (рис. 2.2, а – 2.2, в). Тогда в зави-симости от вида области ли-нейная функция может быть ограниченной сверху и неограниченной снизу (рис. 2.2, а), ограниченной снизу и неограниченной сверху (рис. 2.2, б), либо ограниченной как снизу, так и сверху (рис. 2.2, в).

2.1. Примеры задач, решаемых графическим методом.

Решим графическим методом задачи использования сырья и составления рациона.

Задача использования сырья. Для изготовления двух видов продукции Р1 и Р2 используют три вида сырья: S1, S2, S3. Запасы сырья, количество единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы продукци, а так же величина прибыли, получаемая от реализации единицы продукции, приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1.

Необходимо составить такой план выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимальную прибыль.

Решение.

Обозначим через х1 количество единиц продукции Р1, а через х2 – количество единиц продукции Р2. Тогда, учитывая количество единиц сырья, расходуемое на изготовление продукции, а так же запасы сырья, получим систему ограничений:

2х1 + 5х2 20

8х1 + 5х2 40

5х1 + 6х2 30

которая показывает, что количество сырья, расходуемое на изготовление продукции, не может превысит имеющихся запасов. Если продукция Р1 не выпускается, то х1=0; в противном случае x1 0. То же самое получаем и для продукции Р2. Таким образом, на неизвестные х1 и х2 должно быть наложено ограничение неотрицательности: х1 0, х2 0.

Конечную цель решаемой задачи – получение максимальной прибылипри реализации продукции – выразим как функцию двух переменных х1 и х2. Реализация х1 единиц продукции Р1 и х2 единиц продукции Р2 дает соответственно 50х1 и 40х2 руб. прибыли, суммарная прибыль Z = 50х1 + 40х2 (руб.)

Условиями не оговорена неделимость единица продукции, поэтому х1 и х2 (план выпуска продукции) могут быть и дробными числами.

Требуется найти такие х1 и х2, при которых функция Z достинает максимум, т.е. найти максимальное значение линейной функции Z = 50х1 + 40х2 при ограничениях

2х1 + 5х2 20

8х1 + 5х2 40

5х1 + 6х2 30

х1 0, х2 0.

Построим многоугольник решений (рис. 2.3).

Для этого в системе координат х1Ох2 на плоскости на плоскости изобразим граничные прямые

2х1 + 5х2 = 20 (L1)

8х1 + 5х2 = 40 (L2)

5х1 + 6х2 = 30 (L3)

х1 = 0, х2 = 0.

Взяв какую-нибудь точку, например, начало координат, установим, какую полуплоскость определяет соответствующее неравенство (эти полуплоскости на рис. 2.3 показаны стрелками). Многоугольником решений данной задачи является ограниченный пятиугольник ОАВСD.

Для построения прямой 50х1 + 40х2 = 0 строим радиус-вектор N = (50;40) = 10(5;4) и через точку O проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую Z = 0 перемещаем параллельно самой себе в направлении вектора N. Из риc. 2.3 следует, что опорной по отношению к многоугольнику решений эта прямая становится в точке С, где функция Z принимает максимальное значение. Точка С лежит на пересечении прямых L1 и L2. Для определения ее координат решим систему уравнений