2. Построим поле разложения для p = Q[x]. Заметим, что поле=Q() таковым не является; в этом поле p = и второй множитель q неприводим даже над R, поскольку его дискриминант меньше нуля. Поле разложения K получится, если мы присоединим к полю один из корней уравнения q(x) = 0, то есть величину, где - кубический корень из 1. Впрочем, поскольку, достаточно присоединить. Первое расширение имеет базис 1, ,. Второе - 1, . По теореме о строении составного расширения, базис K над Q составляют элементы: 1, ,,,, и [K:Q] =6. Заметим, что = K, хотя в отдельности ни i ни не входят в K.

Замечание.

Можно доказать ( мы этого делать не будем), что поле разложения данного многочлена определено однозначно с точностью до изоморфизма.

Строение конечных полей.

Теорема о количестве элементов конечного поля.

Пусть K расширение конечного поля k степени n. Если k содержит q элементов, то K содержит элементов.

Доказательство.

Пусть - базис расширения. Любой элемент поля K однозначно записывается в виде:, гдеk. Отсюда и вытекает наше утверждение.

Следствие.

Количество элементов конечного поля k характеристики p равно. В самом деле, kGF(p).

Как нам известно, над полем GF(p) существуют неприводимые многочлены любой степени . Присоединяя ( формально) к GF(p) корень такого многочлена степени n, мы получим расширение KGF(p) степени n. Итак, имеем следующее утверждение.

Теорема существования для конечных полей

Для всякого натурального n и простого p существует конечное поле из элементов.

Рассмотрим теперь многочлен t =, где q = над полем GF(p). Пусть K какое либо поле, содержащее все корни этого многочлена, так что в K . Отметим, что среди элементов нет одинаковых. В самом деле, , так что ОНД(t, ) = 1 и t не имеет кратных корней.

Теорема.

Множество T = {}K является полем из q элементов.

Доказательство. Надо проверить, что и 1. , Но . Значит,

2. .

Следствие.

Поле T из элементов является полем разложения многочлена над GF(p).

Поскольку поле разложения многочлена определено однозначно с точностью до изоморфизма, мы вправе ввести для него специальное обозначение. Это поле называется полем Галуа в честь французского математика Эвариста Галуа и обозначается GF().

Пусть теперь K любое поле из элементов. Как нам известно, группа K* - циклическая порядка q-1. Поэтому для любого, а потому для всех без исключения элементов K. Таким образом всякий элемент xK удовлетворяет уравнению =0 и KGF(q). Поскольку они состоят из одинакового числа элементов, мы получаем:

Теорема.

Любое конечное поле изоморфно GF().

Следствие.

Всякий неприводимый над GF(p) многочлен s степени n является делителем многочлена d =.

В самом деле, присоединяя к GF(p) корень многочлена s, мы получаем поле из элементов. Следовательно, этот корень содержится в GF() и неприводимый многочлен s делит d.

Отметим, что после этого присоединения получается поле разложения многочлена s.

Следствие.

Поле разложения любого неприводимого многочлена s степени n над GF(p) получается в результате присоединения одного единственного корня этого многочлена и изоморфно GF(). Многочлен s не имеет корней в полях GF() при l<n.