Если | p , то a называется корнем кратности не ниже n. Введем понятие производной многочлена p. По определению это многочлен . Имеют место обычные правила вычисления производной: ; . Отсюда следует, что и потому наличие у многочлена корня a кратности не ниже n влечет наличие у его производной того же корня кратности не ниже (n-1). В частности, если p(a) = 0, но , то корень a - простой (то есть не кратный).

Если | p, но не делит p, то число n называется кратностью корня a . Пусть - множество всех корней многочлена p с указанными кратностями . Поскольку при ab НОД(,) =1, многочлен p делится на и потому deg(p) . Итак, многочлен степени n имеет не более n корней с учетом их кратности.