Определение.

Подмножество называется подкольцом, если оно является кольцом относительно тех же операций, которые определены в R.

Это означает, что К является подгруппой аддитивной группы R и замкнуто относительно умножения: . Отметим, что если R обладает свойством ассоциативности , коммутативности или отсутствием делителей нуля, то и К обладает теми же свойствами. В то же время, подкольцо кольца с единицей может не иметь единицы. Например, подкольцо четных чисел 2Z Z не имеет единицы. Более того, может случиться, что и R и K имеют единицы, но они не равны друг другу. Так будет, например, для подкольца , состоящего из матриц с нулевой последней строкой и последним столбцом; =diag(1,1, .,1,0) =diag(1,1, .,1).

Определение.

Гомоморфизмом колец называется отображение, сохраняющее обе кольцевые операции: и . Изоморфизм - это взаимно однозначный гомоморфизм.

Ядро гомоморфизма - это ядро группового гомоморфизма аддитивных групп , то есть множество всех элементов из R, которые отображаются в .

Пусть снова - некоторое подкольцо. Поскольку (К,+) - подгруппа коммутативной группы (R,+), можно образовать факторгруппу R/K, элементами которой являются смежные классы r+K. Поскольку К*К К, для произведения двух смежных классов имеет место включение: (r+K)*(s+K) r*s+r*K+K*s+K.

Определение.

Подкольцо К называется идеалом кольца R, если : x*K K и K*yK.

Мы видим, что если К является идеалом в R, произведение смежных классов (r+K)*(s+K) содержится в смежном классе r*s+K. Значит в факторгруппе R/K определена операция умножения, превращающая ее в кольцо, называемое факторкольцом кольца R по идеалу К.

Примеры.

1. Подкольцо nZ является идеалом кольца Z, поскольку для любого целого m m(nZ) nZ. Факторкольцо Z/nZ- это множество вычетов по модулю n с операциями сложения и умножения. Отметим, что если число n не является простым, то Z/nZимеет делители нуля.

2. Пусть IR[x] - множество всех многочленов , у которых =0. Удобно записать: I = xR[x]. Поскольку p*I =(p*x)R[x] I, мы имеем идеал кольца многочленов. Каждый смежный класс q+I содержит элемент . Значит, (q+I)*(s+I) = (+I)*(+I) =*+I.

3. В развитие предыдущего примера рассмотрим некоторое ассоциативное коммутативное кольцо S. Если любой его элемент, то множество I=x*S является идеалом кольца S, называемым главным идеалом с образующим элементом x. Этот идеал обозначается (x). Если S кольцо с единицей и элемент x обратим, то (x)=S.

4. Если кольцо S является полем, то всякий ненулевой идеал I в S совпадает со всем полем. В самом деле, если , x 0, то для всякого имеем: , откуда .

5. Пусть I идеал кольца R. Сопоставляя каждому элементу смежный класс r+I, получаем сюръективный гомоморфизм . Этот гомоморфизм называется естественным гомоморфизмом кольца на факторкольцо.

Замечание.

Свойства ассоциативности, коммутативности и наличия единицы очевидно сохраняются при переходе к факторкольцу. Напротив, отсутствие в R делителей нуля еще не гарантирует их отсутствие в факторкольце (см. пример 1).

Теорема об ядре.

Ядро гомоморфизма колец является идеалом.

Доказательство.

Пусть - гомоморфизм колец, I =Ker, - любой элемент. Тогда, (x*I) =(x)* (I) =(x)*0 =0. Значит, x*I Ker =I. Аналогично проверяется, что I*xI.

Теорема о гомоморфизме для колец.

Пусть - сюръективный гомоморфизм колец. Тогда S изоморфно факторкольцу R/Ker. Если эти изоморфные кольца отождествить, то отождествляется с естественным гомоморфизмом кольца R на свое факторкольцо.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству соответствующей теоремы для групп и мы его опускаем.

Пример.

Пусть K - кольцо многочленов R[x], : KC - гомоморфизм, сопоставляющий каждому многочлену p его значение в точке i : (p) =p(i). Ядро этого гомоморфизма составляют многочлены, представимые в виде: (+1)*q(x), где q - любой многочлен. Можно записать: Ker =(+1). По теореме о гомоморфизме .