Компоненты конечной коммутативной группы G определены однозначно. Точнее, пусть - разложение

Страница
2
Коммутативные группы с конечным числом образующих.
Рефераты >> Математика >> Коммутативные группы с конечным числом образующих.

Компоненты конечной коммутативной группы G определены однозначно. Точнее, пусть - разложение порядка n группы G в произведение простых чисел, . Тогда .

Доказательство.

Из разложения мы видим, что =0. Если же (p,q)=1, то q = . Поскольку при ji делится на, а =1, отсюда и следует утверждение теоремы.

Теорема единственности определения типа примарной группы.

Тип примарной группы определен однозначно. Точнее, если p-компонента группы G представлена в виде прямой суммы циклических подгрупп: =, то .

Доказательство.

Пусть G=- разложение G в сумму p-компоненты и остальных компонент. Таким образом, (ord(),p)=1 и потому =. С другой стороны, = при m>k (равно 0 в противном случае). Поэтому

ord()=. Обозначая ord()=N, получаем:

ord(G)=N. Отсюда: ord(G)/ ord(G)= откуда и следует утверждение теоремы.

Замечание.

Обращаем внимание на существенное отличие в формулировке свойства единственности в двух последних теоремах. В первой из них утверждается единственность каждой из подгрупп , тогда как во второй подгруппы, составляющие прямые слагаемые, определены, вообще говоря, неоднозначно, но их количество и порядок каждой из них находятся уже единственным образом.

Количество неизоморфных конечных абелевых групп данного порядка.

Обозначим через ab(n) количество попарно неизоморфных абелевых групп порядка n. Ввиду единственности разложения такой группы в сумму примарных компонент, разложению в произведение простых отвечает равенство ab(n)=ab()ab() .ab(). Если p- любое простое число, и G-

группа порядка и типа (1,1, .1,2,2, k) то m=1+1+ .+1+2+2+ .+ .+k. Каждому представлению числа m в виде суммы положительных целых слагаемых (причем порядок слагаемых не играет роли) отвечает определенный тип абелевой группы порядка . Такое представление числа m называется его разбиением и обозначается . Таким образом, поскольку тип группы определяется однозначно, ab()=.

Примеры.

Составим прежде всего следующую табличку разбиений:

m	разбиения
1	1	1
2	2;1+1	2
3	3;2+1;1+1+1	3
4	4;3+1;2+2;2+1+1;1+1+1+1	5
5	5;4+1;3+2;3+1+1;2+2+1;2+1+1+1;1+1+1+1+1	7
6	6;5+1;4+2;4+1+1;3+3;3+2+1;3+1+1+1;2+2+2;2+2+1+1;2+1+1+1+1;1+1+1+1+1+1	11