Страница
2
2. Пусть G=- мультипликативная группа вычетов по модулю 20. Эта группа состоит из 8 элементов: {1, 3,7,9,11,13,17,19} ( для упрощения записи мы не ставим черту над соответствующим вычетом). Циклическая подгруппа Z(3) как нетрудно видеть состоит из элементов 1, 3, 9, 7; циклическая группа Z(13) - из элементов 1, 13, 9,17. Поскольку 3*13=19 и
*13=11, мы видим, что каждый элемент из
может быть записан в виде
, то есть {3, 13} -с.о. группы G. Стандартный гомоморфизм
действует по формуле:
. Ядро этого гомоморфизма состоит из таких двумерных векторов
, для которых
=1, то есть элементы
и
должны быть взаимно обратными. Это возможно только когда оба вычета равны 1 или 9, что соответствует значениям n=4p; m=4q или n=4p+2; m=4q+2 (
). Отсюда видно, что в качестве образующих
можно выбрать элементы
и
. Поэтому получаем:
.
Замечание.
Построение матрицы для данной г.к.о. G зависит от выбора с.о. группы G и подгруппы
. Существует стандартный способ изменения с.о. - выполнение элементарных преобразований (э.п.). Как известно, имеются 3 типа элементарных преобразований: перестановка образующих, умножение одной из образующих на число p и прибавление к одной образующей кратного другой. Для того, чтобы при этих преобразованиях снова получалась с.о. необходима их обратимость. Поэтому число p может быть равно только 1 или -1. Выполнение э.п. с.о. G приводит к преобразованиям строк матрицы
, а э.п. с.о. H приводят к преобразованиям столбцов той же матрицы. Назовем две целочисленные матрицы эквивалентными, если одна из них получается из другой э.п. строк и столбцов . Из сказанного выше вытекает, что эквивалентные матрицы отвечают одной и той же группе. Отметим еще, что если B
- любая , то взяв в качестве
-множество всевозможных целочисленных комбинаций столбцов B и образовав факторгруппу G=
мы придем к группе, для которой
=B. Таким образом, любая целочисленная матрица определяет некоторую г.к.о.