Определение

Группа G называется циклической, если все ее элементы являются степенями одного элемента . Этот элемент g называется образующим циклической группы G.

Примеры циклических групп:

1. Группа Zцелых чисел с операцией сложения.

2. Группа всех комплексных корней степени n из единицы с операцией умножения. Поскольку , группа является циклической и элемент g= -образующий .

Мы видим, что циклические группы могут быть как конечными так и бесконечными.

3. Пусть (G,*) - произвольная группа и произвольный элемент. Множество является циклической группой с образующим элементом g . Она называется циклической подгруппой, порожденной элементом g, а ее порядок - порядком элемента g. По теореме Лагранжа порядок элемента является делителем порядка группы. Отображение

действующее по формуле: , очевидно является

гомоморфизмом и его образ совпадает с . Отображение сюръективно тогда и только тогда, когда группа G - циклическая и g ее образующий элемент. В этом случае будем называть стандартным гомоморфизмом для циклической группы G c выбранной образующей g .

Применяя в этом случае теорему о гомоморфизме, мы получаем важное свойство циклических групп: всякая циклическая группа является гомоморфным образом группы Z.

Поскольку , всякая циклическая группа коммутативна и мы будем использовать аддитивную запись, так что n-ая степень g будет выглядеть как ng и называться n-кратным элемента g, а нейтральный элемент G мы будем называть нулем и обозначать 0.

Условимся еще о следующем обозначении. Если Fпроизвольная группа, записанная аддитивно, то nFбудет обозначать подмножество, элементами которого являются n-кратные элементов из F. Если группа Fкоммутативна, то nF- подгруппа Fпоскольку n(x-y)=nx-ny.

Теорема о подгруппах группы Z

Если H-подгруппа группы Z, то H=nZ , где n - некоторое неотрицательное целое число и значит H- циклическая группа с образующим элементом n.

Доказательство:

Если H-тривиальная подгруппа, то теорема верна и n=0. Пусть Hнетривиальна. В этом случае в Hсодержатся ненулевые числа и противоположные к ним, а значит и положительные целые. Обозначим наименьшее из них буквой n. Тогда . Если - любое число, то разделив m на n с остатком, получим: m=kn+r, причем . Но тогда r=m-kn и значит r=0. Поэтому H=nZ , что и требовалось.

Замечание.

Если k 0 - любое целое, то отображение определенное формулой является изоморфизмом и отображает подгруппу на подгруппу , а значит определяет изоморфизм .

Теорема о структуре циклических групп

Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна Z. Всякая конечная циклическая группа порядка n изоморфна Z/nZ.

Доказательство.

Как было отмечено выше, всякая циклическая группа G изоморфна Z/H, где H- некоторая подгруппа Z. По предыдущей теореме H=nZ, где . Если n=0, G изоморфна Zи, следовательно, бесконечна. Если n>0, Z разбивается на n смежных классов: nZ, nZ+1, nZ+2, ., nZ+(n-1) и потому факторгруппа Z/Hимеет порядок n.

В дальнейшем группу Z/nZбудем обозначать . В частности, .

Отметим, что в наших обозначениях, - тривиальная группа.

Элементами конечной группы по определению являются смежные классы:

{nZ, nZ+1, . , nZ+n-1}, которые обозначаются и называются вычетами по модулю n , а операция в - сложением по модулю n.

Теорема о подгруппах группы (n>0).

Если Hподгруппа группы , то H= причем n делится на m нацело. Порядок Hравен =d , и значит .

Доказательство.

Рассмотрим стандартный гомоморфизм . K= - подгруппа Zи значит K=mZдля некоторого целого m. Отсюда следует, что H= . При этом и потому n=dm где d - целое. По теореме о гомоморфизме .

Из доказанных теорем следует, что всякая подгруппа циклической группы циклична. Мы видим также, что для каждого целого d, делящего порядок n конечной циклической группы имеется и притом ровно одна подгруппа порядка d, то есть для конечных циклических групп справедлива теорема обратная теореме Лагранжа.