Понятие бинарной алгебраической операцииРефераты >> Математика >> Понятие бинарной алгебраической операции
y=z.
2. Единственность нейтрального элемента
В любой группе нейтральный элемент определен однозначно. В самом деле, если и оба являются нейтральными, то по определению
и в то же время , откуда . Единственный нейтральный элемент группы G будет в дальнейшем обозначаться или просто e.
3. Единственность обратного элемента
Для каждого элемента x обратный элемент определен однозначно. В самом деле, если элементы y и z являются обратными для x, то y*x=e и z*x=e, откуда y*x=z*x и по закону сокращения y=z.
4. Признак нейтрального элемента
Действительно, поскольку , имеем , откуда по закону сокращения получаем .
5. Разрешимость любого уравнения первой степени (существование обратной операции)
. Элемент z определен однозначно. (Его можно назвать «частным» от деления y на x).
Имеем: и значит можно взять . Однозначность следует из закона сокращения: .
Понятие подгруппы
Определение
Группа называется подгруппой группы , если, во первых
(как подмножество) и, во-вторых,
(то есть закон умножения на подмножестве H такой же как и во всем множестве G.)
Тот факт, что является подгруппой в обозначается с помощью символа включения: или просто .
Примеры подгрупп.
1. Целые числа с операцией сложения (Z) образуют подгруппу в группе R, которая, в свою очередь является подгруппой группы C.
2. Четные перестановки образуют подгруппу в группе всех перестановок.
3. Матрицы с определителем 1 образуют подгруппу в группе всех невырожденных матриц.
Чтобы проверить, будет ли данное подмножество H в G подгруппой надо, очевидно, проверить следующие условия :
1.
2.
3. .
Оказывается, что вместо трех этих условий достаточно проверить только одно.
Признак подгруппы
Непустое подмножество H в группе G будет подгруппой этой группы тогда и только тогда, когда:
. (5)
Доказательство.
Условие (4) очевидно следует из 1 -3. Проверим обратное утверждение. Взяв в (5) y=x, получим: , то есть выполнено второе условие. Теперь возьмем , тогда получим: и таким образом условие 3. также выполнено. Наконец, взяв в условии (5) , получим , то есть условие 1.