**********

4. Опишем около трапеции многоугольник

**********************************

Необходимое условие существование определенного интеграла.

Df. Пусть существует интеграл подынтегральная ф-ия ограничена на

Доказательство:

Пусть - неограниченна на , то при любом разбиении этого отрезка она неограниченна на каком-то из частичных отрезков Þ ***на частичном отрезке, мы можем сделать значение ф-ии в т. сколь угодно большим по модулю Þ интегральная сумма, соотв. этому прозв. разб. будет неограниченна Þ не имеет предела Þ противоречит условию Þф-ия ограничена на

Некоторые классы интегральных ф-ий.

Df. Любая ф-ия, для которой существует определенный интеграл на , интегрируема на этом промежутке.

Множество таких ф-ий обозначают

К интегрируемым на ф-иям относятся:

1. Ф-ии, непрерывные на

2. Монотонные на

3. Имеющие на отрезке конечное или счетное мн-во точек разрыва 1-го рода.

Свойства определенного интеграла.

Df. Промежуток с гранич. т. A и B ориентированным, если указано направление перехода от т. A к т. B.

1. Пусть сущ. определенный интеграл сущ. определенный интеграл и справедливо равенство

2.

Док-во:

3. Свойство линейности определенного интеграла:

1. Пустьф-ииинтегрируемы на ***

2. Пусть , то для любой произвольной постоянной - справедлива формула

4. Аддитивность определенного интеграла:

Пусть ф-ия интегрируема на большем их трех помежутков , тогда она интегрируема на обоих меньших промежутках и справедлива формула:

Свойство монотонности.

1. Пусть ф-ия неотрицательна на и интегрируема на нем,

Док-во: В силу н-ва для ф-ий любая интегрируема ф-ия неотрицательна Þ любая последовательность интегрируемых сумм будет иметь неотрицательный предел Þ интеграл будет неотрицательным.

2. Пусть ф-ия на , искл. конечн. точек, и интегрируема на , тогда

Док-во: Из интегрируемости следует, что предел не зависит от выбора разбиения на . Достаточно строить инт. разбиения так, чтобы точки, в которых ф-ия равна нулю, являлись точками разбиения. А следовательно в силу аддитивности интеграл по всему прмежутку равен сумме интегралов по частичным промежуткам, т.к ****

Df Две ф-ии , заданные на , значения которых различны на лишь в конечном ч. точек называются эквивалентными на этом отрезке.

3. Инт. от эквивалентных ф-ий совп.

Пусть эквивалентны и интегрируемы на , тогда (они не совпадают а интегралы совпадают).

Д-во:

на лишь в конеч. ч. точек отр. , следовательно по 2му

4. Пусть на , кроме конечного ч. точек, инт. на , , то

5. Пусть инт-ма на Þ модуль ф-ии тоже интегрируем на и справедливо неравенство:

6. Пусть интегрируема на , , то существует М, такая что