Теорема: Пусть f(х) и j(х) имеют конечные пределы в т. y=a, тогда справедливо:

1.

2.

3.

4.

Доказательство:

1. Пусть , тогда по общему свойству №6

,

а это противоречит 1

Замечание:

1. Из утверждения №3 следует, что предел неотрицательной ф-ии является неотрицательным.

2. При пределов к противоположным можно обе части умножать на (-1).

Теорема 2(о двух миллиционерах ) Пусть в некоторой области Д выполняется система неравенств и а – предел точки.

Пусть существуют равные пределы ,

тогда существует .

Доказательство:

Первый замечательный предел

Доказательство: докажем для справедливость неравенства

В силу четности входящих в неравенство ф-ий, докажем это неравенство на промежутке

Из рисунка видно, что площадь кругового сектора

, так как х>0, то ,

2. следовательно, что

3. Покажем, что

4. Докажем, что

5. Последнее утверждение:

Второй замечательный предел

Понятие касательной к прямой.

Прямая, проходящая через две точки кривой – секущая.

Предельное положение секущей, которое она занимает при стремлении т. М к т. М0 называется касательной к кривой в т. М0

Бесконечные пределы ф-ии.

Если в общем определении предела через окрестности положить в качестве А бесконечно удаленную точку, то получим определение бесконечного предела.

Так как различают три вида бесконечно удаленных точек, то существуют три определения:

1.

2.

3.

Понятие непрерывности ф-ии.

Непрерывность – такое свойство ф-ии, как отсутствие точек разрыва у графиков этой ф-ии. Т.е. строится единственной непрерывной линией.

График непрерывной ф-ии ; График ф-ии, разрывной в т. С;

1.Ф-ия называется непрерывной в точке х0 , если предел в данной точке совпадает со значением ф-ии в этой же точке

2.

3. Разность -приращение аргумента в точке х0

4. Разность - приращение ф-ии в точке х0 вызывает приращение аргумента

5. Ф-ия называется непрерывной в точке х0 , если бесконечно малому аргументу соответствует бесконечно малое значение ф-ии в точке х0 .

Общие свойства ф-ии, непрерывной в точке.

Представим ф-ию с помощью бесконечно малых

1.

2.Пусть ф-ия непрерывна в точке х0 и ее значение в этой точке отлично от нуля, то существует целая окрестность х0 , в которой ф-ия не равна нулю и сохраняет знак f(x0)

sign(х)(сигнум)

Доказательство:

а)

б)