Гомоморфизм.Рефераты >> Математика >> Гомоморфизм.
Гомоморфизм групп - это естественное обобщение понятия изоморфизма.
Определение.
Отображение групп называется гомоморфизмом, если оно сохраняет алгебраическую операцию, то есть : .
Таким образом, обобщение состоит в том, что вместо взаимно однозначных отображений, которые участвуют в определении изоморфизма, здесь допускаются любые отображения.
Примеры.
1. Разумеется, всякий изоморфизм является гомоморфизмом.
2. Тривиальное отображение является гомоморфизмом.
3. Если - любая подгруппа, то отображение вложения будет инъективным гомоморфизмом.
4. Пусть - нормальная подгруппа. Отображение группы G на факторгруппу G/H будет гомоморфизмом поскольку . Этот сюръективный гомоморфизм называется естественным.
5. По теореме С предыдущего раздела отображение сопряжения сохраняет операцию и, следовательно является гомоморфизмом.
6. Отображение , которое каждому перемещению n- мерного пространства ставит в соответствие ортогональный оператор (см. лекцию №3) является гомоморфизмом поскольку по теореме 4 той же лекции .
Теорема (свойства гомоморфизма)
Пусть - гомоморфизм групп, и - подгруппы. Тогда:
1. , .
2. - подгруппа.
3. -подгруппа, причем нормальная, если таковой была .
Доказательство.
1. и по признаку нейтрального элемента . Теперь имеем: .
2. Пусть p = a(h) , q = a(k) . Тогда и . По признаку подгруппы получаем 2.
3. Пусть то есть элементы p = a(h) , q = a(k) входят в . Тогда то есть . Пусть теперь подгруппа нормальна и - любой элемент. и потому .
Определение.
Нормальная подгруппа называется ядром гомоморфизма .Образ этого гомоморфизма обозначается .
Теорема.
Гомоморфизм a инъективен тогда и только тогда, когда
Доказательство.
Поскольку , указанное условие необходимо. С другой стороны, если , то и если ядро тривиально, и отображение инъективно.
Понятие гомоморфизма тесно связано с понятием факторгруппы.
Теорема о гомоморфизме.
Любой гомоморфизм можно представить как композицию естественного (сюръективного) гомоморфизма , изоморфизма и (инъективного) гомоморфизма (вложения подгруппы в группу): .
Доказательство.
Гомоморфизмы p и i описаны выше (см. примеры) Построим изоморфизм j. Пусть . Элементами факторгруппы являются смежные классы Hg . Все элементы имеют одинаковые образы при отображении a : . Поэтому формула определяет однозначное отображение . Проверим сохранение операции .Поскольку отображение j очевидно сюръективно, остается проверить его инъективность. Если , то и потому . Следовательно, и по предыдущей теореме j инъективно.
Пусть - любой элемент. Имеем : . Следовательно, .
10 Циклические группы.