Для дальнейшего анализа перейдем от комплексной плоскости р на другую комплексную плоскость Н(р)=u+i (см. рисунок 3).

При этом каждой точке р плоскости s,iw соответствует определенное значение Н на плоскости u,iv. И любой замкнутый контур на плоскости перейдет в некий, также замкнутый контур на плоскости Н.

Если исходный контур на плоскости р задан в виде контура как на рисунке 1, то соответствующий ему контур на плоскости Н называется годографом функции Н.

Показанный на рисунке 1 контур можно разбить на два участка : прямую iw от ¥ до -¥ и полуокружность бесконечно большого радиуса R. На первом участке, где s=0,р=iw, функция H(p) обращается в функцию H(iw).В соответствии с выражением (*) этот участок преобразуется на плоскости H в линию, определяемую следующим соотношением:

откуда

В этих выражениях аргументы переда-

точных функций соответственно четырехполюсников

.

На втором рисунке контура (см. рисунок 1) при R®¥функция H(p)®0. Это вытекает из общего выражения

которое при ½p½®¥можно представить в виде (под В подразумевается постоянный коэффициент, а p0i и pпi - соответственно нули и полюсы функции К(р)).

Совершенно аналогично и функциюН(р) при ½p½®¥можно представить в формеH(p) = Apn-m где n и m - числа соответственно нулей и полюсов функции Н(р).

При n < m и ½p½®¥модуль функции H(p) на полуокружности R ®¥равен нулю. Таким образом, полуокружность бесконечно большого радиуса R на плоскости р преобразуется в точку, лежащую в начале координат на плоскости Н, и для построения годографа Н в виде замкнутого контура достаточно знать поведение Н(р) на оси iw, т.е. знать АЧХ и ФЧХ цепи Ky(iw),Koc(iw).

Обходу контура на рисунке 1 в положительном направлении (против часовой стрелки) соответствует обход годографа Н при изменении частоты от ¥ до -¥, т.е. также против часовой стрелки (см. рисунок 3).

Следовательно, если годограф передаточной функции разорванного кольца не охватывает точку 1,i0 , то при замкнутой цепи обратной связи система устойчива, в противном случае система неустойчива.

Это условие называют критерием устойчивости Найквиста, а годограф H(iw) - диаграммой Найквиста.

Показанная на рисунке 3 диаграмма соответствует устойчивой системе. Это видно из того, что годограф Н не охватывает точку 1,i0. Сплошной линией показана часть контура, соответствующая положительным частотам 0<w<¥, а штриховой - часть контура, соответствующая отрицательным частотам. Так как функция u(w) четная, а v(w) нечетная относительно w, то оба годографа симметричны относительно действительной оси.

Рисунок 3 был построен для случая, когда при w = 0 передаточная функция Н(iw) отлична от нуля ( эта возможно, например, для усилителей постоянного тока, в которых отсутствуют разделительные конденсаторы).

Основное преимущество данного метода : удобство оперирования с АЧХ и ФЧХ разомкнутой цепи.

Следует отметить, что при сложной схеме устройства форма диаграммы бывает настолько усложнена, что по ней сложно судить о попадании точки 1,i0 в замкнутый контур годографа. В подобных случаях оказывается полезным критерий, вытекающий из критерия Найквиста, основанный на подсчете числа пересечений годографом оси Uн(w) на участке 1,¥.

Для устойчивости системы тогда необходимо, чтобы годограф либо вообще не пересекал этот отрезок, либо пересекал его в положительном и отрицательном направлениях одинаковое число раз.

Помимо критерия Найквиста известен ряд других геометрических методов исследования устойчивости линейных систем с обратной связью, например критерий Михайлова и критерий пересечений. Они широко применяются при анализе систем автоматического регулирования. (Данные критерии описаны в книге : Котельников В.А., Николаев А.М. “Основы радиоэлектроники”)

Л и т е р а т у р а .

1. С.И. Баскаков “Радиотехнические цепи и сигналы” , 1983. М.: Высшая школа.

2. И.С. Гоноровский “Радиотехнические цепи и сигналы”, 1986

М.: Радио и связь.

[1] Здесь и далее подразумевается, что Кос(р) и b обозначают одно и тоже - коэффициент усиления обратной связи.