Строго говоря, доказательство Эйлера было дефектным, поскольку он необоснованно перенес ряд свойств обычных чисел на числа вида . В частности он предполагал единственность разложения таких чисел на простые множители. Для устранения пробелов в доказательстве Эйлера понадобились принципиально новые алгебраические абстракции: числовые кольца и поля. Реализацию этой программы начал Гаусс, которому принадлежит первое абсолютно строгое доказательство “Великой теоремы Ферма” для n=3.

Доказательство для случая n=5 предложили почти одновременно в атмосфере острого соперничества два француза: Лежен-Дирихле и Лежандр (1825). Оба доказательства были очень сложными. В 1839 г. теорема Ферма была доказана для следующего простого показателя n=7. Это удалось благодаря титаническим усилиям Ламе. Он же в 1847 г. объявил, что доказал теорему для всех простых показателей n>3 . Однако бдительный Лиувиль сразу же обнаружил в рассуждениях Ламе ошибку сходную с той, которую допустил Эйлер. Ламе был вынужден признать свое поражение.

Пока во Франции происходили эти события, в Германии молодой математик Куммер упорно занимается теоремой Ферма. Повторив все ошибки Ламе, он пришел к понятию “идеальных чисел”, для которых разложение на простые множители единственно. Обобщение этого понятия привело к созданию головокружительных абстрактных конструкций, которые сегодня изучаются в специальном разделе алгебре под названием “Теория идеалов”. Куммер, посвятивший теореме несколько десятков лет, к концу жизни умел доказывать “Великую теорему Ферма” для всех простых показателей n <100 . В 1857 г. ему была вручена премия Французской академии наук в размере 3 тыс. франков. Работы Куммера окончательно похоронили надежды на возможность доказательства теоремы Ферма элементарными средствами. Стало ясно, что Ферма никогда не имел и не мог иметь доказательства теоремы в общем виде.

После Куммера серьезных сдвигов в доказательстве теоремы Ферма не происходило вплоть до 1929 г., когда Вандивер, используя метод Куммера, получил в явном виде некие условия, позволяющие проверять истинность теоремы для любого простого показателя. С этого момента доказательство теоремы для конкретного n свелось к чисто вычислительным проблемам, с которыми легко справляются современные ЭВМ. В результате к концу семидесятых годов нашего столетия “Великая теорема Ферма” была доказана для всех n <100000 . Это очень большое число, но это еще не все n , а значит “Великая теорема Ферма” не доказана и не опровергнута.

“Верна или не верна?” - так назывался чудесный научно-популярный игровой фильм, промелькнувший на экранах телевизоров в начале семидесятых. Современный яйцеголовый математик, разложив на пульте ЭВМ старинные фолианты, колдует над кипящей ретортой. Он решил обратиться к последнему средству. Произнесена магическая формула, раздается взрыв, и в облаке дыма появляется интеллигентного вида дьявол (его блестяще играет молодой Кайдановский). Помахивая хвостом, нечистый вежливо спрашивает, что угодно клиенту в обмен на бессмертную душу. “Я хочу знать, верна или не верна теорема Ферма”- устало ответствует математик. “Простите, кто кому не верна?”- переспрашивает ошарашенный дьявол. “Великая или Последняя теорема Ферма. Это математическое утверждение. Оно либо справедливо, либо ошибочно. Я должен это узнать любой ценой”. Дьявол осторожно интересуется насчет более традиционных пожеланий - земные блага, вечная молодость и все такое. Но математик упрямо требует ответа на проклятый вопрос. Дьявол, обреченно вздыхая, соглашается вникнуть в суть проблемы. Математик пускается в объяснения: “Уравнение Ферма может быть решено в целых числах, если показатель равен двум. Например, три в квадрате плюс четыре в квадрате равно пяти в квадрате. Но если показатель равен трем . ”

“Подождите,- перебивает его дьявол. - Как Вы сказали? Три в квадрате плюс четыре в квадрате . ”, и дьявол рисует кончиком хвоста:

+

Математик с изумлением взирает на посланника ада. Дьявол безнадежно отстал и не знает элементарной алгебры! Придется начинать с самого начала. Через несколько минут дьявол (а заодно и зритель) уясняет формулировку теоремы и проникается ее интригующей историей. Он полон оптимизма, ему не терпится приступить к решению загадки: “Я всего лишь должен найти три числа? Три обычных числа, которые удовлетворяют уравнению г-на Ферма для некоторого показателя, например, для трех”. “Да, этого достаточно, чтобы отвергнуть теорему”- отвечает математик, но дьявол уже исчез. Через несколько минут он вновь сидит в кресле: “Я перебрал биллионы чисел для тысячи показателей, но нужных цифр среди них не было” - заявляет он обиженно. Математик улыбается: “Зря старались. Известно, что теорема Ферма верна для всех показателей не превосходящих 100000. Попытайтесь доказать теорему, используя знания, накопленные людьми”. Час спустя дьявол появляется вновь. Вид у него самый озабоченный. Он в очках, на нем модная водолазка. “Да, Вы правы. Эта штучка жжет почище адского пламени. - говорит он задумчиво - Я полностью овладел математическим анализом, я изучил теорию квадратичных вычетов, ряды Дирихле, диофантовы уравнения, дзета-функции, поля классов и многое другое. И я знаю, что близок к цели. Я пришел просить отсрочки еще на час”. Он возвращается лишь поздно ночью, разбудив задремавшего математика. “Послушайте, - шепчет возбужденно дьявол, - а Вы пробовали рассматривать алгебраические кривые в проективной плоскости инвариантные относительно бирациональных преобразований в хаусдорфовой топологии. Шансов немного, но . ”. “Позвольте, - прерывает его математик, - разве это возможно в случае произвольных полей”. Дьявол в ответ раскрывает научный журнал: “Так Вы не видели свежей работы Серра по когомологиям Вейля? Вот, взгляните”. И они, забыв о сделке, углубляются в формулы, обмениваясь репликами на жутковатом профессиональном жаргоне.

Забавный фильм вполне точно подмечает инфернальный характер наследия Ферма. “Великая теорема” обернулась проклятием для десятков, может быть сотен тысяч людей, имевших несчастье вникнуть в ее формулировку и заразиться желанием испытать свои силы. Вступившие на эту стезю уже не внимали никаким доводам рассудка. Иллюстрацией может служить анекдотичная телеграмма, пришедшая в Президиум АН СССР: “Доказал теорему Ферма. Основная идея перенести игрек энной в правую часть. Подробности письмом”.

Ведущие математики всех времен и народов неоднократно объясняли, что элементарное доказательство теоремы Ферма во-первых не существует, а во-вторых не будет иметь никакого значения для науки. Оно всего лишь закроет проблему. Подлинное значение “Великой теоремы” в том, что при попытках ее доказательства были выкованы мощные средства, приведшие к созданию новых обширных разделов математики.