Примерно в это же время Планк начал изучать другую хаотичность классической науки и нашел выход в введении кванта, который должен был примирить прежние и новые представления, но ни самом деле сокрушил классическую физику. В строении атомов долгое время видели аналогию Солнечной системы. Интерес к невозможности однозначных предсказаний возник в связи с появлением принципиально иных статистических законов движения микрообъектов, составляющих квантовую механику. В силу соотношений неопределенности Гейзенберга необходимо сразу учитывать, что Moryi реализовываться не точные значения координат и импульсов, а не которая конечная область состояний Ар и Aq, внутри которой лежа1 начальные координаты Яд и импульсы pp. При этом внутри выделенной области они распределены по вероятностному закону По мере эволюции системы увеличивается и область ее состояний Лр и Aq. На небольших временных интервалах неопределенность состояния будет нарастать медленно, и движение системы будет устойчивым. Для таких систем классическая механика плодотворна.

В 60-е годы 6ыло установлено, что и в простых динамических системах, которые считались со времен Ньютона и Лапласа подчиняющимися определенным и однозначным законам механики, возможны случайные явления, от которых нельзя избавиться путем уточнения начальных условий и исчерпывающим описанием воздействий на систему. Такие движения возникают в простых динамических системах с небольшим числом степеней свободы — нелинейных колебательных системах как механических, так и электрических. Пример такого неустойчивого движения — шарик в двух ямах, разделенных барьером (рис 1). При неподвижной подставке шарик имеет два положения равновесия. При колебаниях подставки он может начать

б

Рис. 1. Пример хаотического движения:

а — шарик в потенциальных ямах; б — шарик на плоскости со стенками (биллиард Синая)

перепрыгивать из одной ямы в другую после совершения колебаний в одной из ям. Периодические колебания с определенной частотой вызывают колебания с широким спектром частот

Кроме того, на систему могут действовать и некоторые случайные силы, которые даже при самой малой величине за длительное время действия приведут к непредсказуемым результатам. Такие системы чувствительны не только к начальным значениям параметров, но и к изменениям положений и скоростей в разных точках траектории. Получается парадокс: система подчиняется однозначным динамическим законам, и совершает непредсказуемые движения. Решения динамической задачи реализуются, если они устойчивы. Например, нельзя видеть сколь угодно долго стоящий на острие карандаш или монету, стоящую на ребре. Но тогда задача из динамических переходит в статистическую, т е. следует задать начальные условия статистическим распределением и следить за его эволюцией. Эти случайные явления получили название хаосов

Рис. 2 Фазовое пространство.

Эволюцию динамических систем во времени оказалось удобным анализировать с помощью фазового пространства — абстрактного пространства с числом измерений, равным числу переменных, характеризующих состояние системы Примером может служить пространство, имеющее в качестве своих координат координаты и скорости всех частиц системы Для линейного гармонического осциллятора (одна степень свободы) размерность фазового пространства равна двум (координата и скорость колеблющейся частицы) Такое фазовое пространство есть плоскость, эволюция системы соответствует непрерывному изменению координаты и скорости, и точка, изображающая состояние системы, движется по фазовой траектории (рис. 2) Фазовые траектории такого маятника (линейного гармонического осциллятора), который колеб­лется без затухания, представляют собой эллипсы

В случае затухания фазовые траектории при любых начальных значениях оканчиваются в одной точке, которая соответствует покою в положении равновесия. Эта точка, или аттрактор, как бы притягивает к себе со временем все фазовые траектории (англ to attract "притягивать") и является обобщением понятия равновесия, состояние, которое притягивает системы Маятник из-за трения сначала замедляет колебания, а затем останавливается На диаграмме его состоянии (фазовой диаграмме) по одной оси откладывают угол отклонения маятника от вертикали, а по другой — скорость изменения этого угла Получается фазовый портрет в виде точки, движущейся вокруг начала отсчета Начало отсчета и будет аттрактором, поскольку как бы притягивает точку, представляющую движение маятника по фазовой диаграмме В таком простом аттракторе нет ничего странного. В более сложных движениях, например, маятника часов с грузом на цепочке, груз играет роль механизма, подкачивающего энергию к маятнику, и маятник не замедляет колебаний. Если запустить часы энергичным толчком маятника, он замедлится до темпа, который обусловлен весом груза, после чего характер его движения останется неизменным Если толчок будет слабым, маятник, замедляясь, вскоре остановится Ситуации с сильным начальным толчком на фазовой диаграмме соответствует спираль, обвивающаяся все более плотно вокруг круговой орбиты, аттрактор будет в данном случае окружно­стью, т е объектом не более странным, чем точка Разным маятникам соответствуют аттракторы, которые называют предельными циклами Все фазовые траектории, соответствующие разным начальным условиям, выходят на периодическую траекторию, которая отвечает установившемуся движению если начальные отклонения были малыми, они возрастут, а, если амплитуды были большими, то уменьшатся. Биение сердца тоже изображается предельным циклом — установившимся режимом.

Если движение состоит из наложения двух колебаний разных частот, то фазовая траектория навивается на тор в фазовом простран­стве трех измерений. Это движение устойчиво, а две фазовые траектории, начинающиеся рядом, будут навиваться на тор, не уходя друг от друга. Ситуация соответствует устойчивому установившемуся движению, к которому сама стремится.

В случае хаотического движения фазовые траектории с близкими начальными параметрами быстро расходятся, а потом хаотически перемешиваются, так как они могут удаляться только до какого-то предела из-за ограниченности области изменений координат и им­пульсов. Поэтому фазовые траектории создают складки внутри фазового пространства и оказываются достаточно близко друг к другу. Так возникает область фазового пространства, заполненная хаотическими траекториями, называемая странным аттрактором. На рис 3 изображен такой аттрактор, полученный Э. Лоренцом на ЭВМ. Видно, что система (изображаемая точкой) совершает быстрые нерегулярные колебания в одной области фазового пространства, а затем случайно перескакивает в другую область, через некоторое время — обратно. Так динамический хаос обращается с фазовым пространством. При этом образование складок возможно только при размерностях больших трех (только в 3-ем измерении начинают складываться плоские траектории). От этих хаотичностей нельзя избавиться. Они внутренне присущи системам со странными аттракторами. Хаотические движения в фазовом пространстве порождают случайность, которая связана с появлением сложных траекторий в результате растяжения и складывания в фазовом пространстве.