Пусть наблюдатель A находится посередине длинного поезда, движущегося со скоростью сравнимой со скоростью света, а наблюдатель B стоит на земле вблизи железнодорожного полотна. Устройства, находящиеся в хвосте и в голове поезда на одинаковых расстояниях от A, испускают две короткие вспышки света, которые достигают наблюдателей A и B одновременно - в тот момент, когда они поравняются друг с другом. Какие выводы сделают из одновременного прихода к ним световых сигналов наблюдатели в поезде и на земле?

Наблюдатель A: Сигналы испущены из точек, удаленных от меня на равные расстояния, следовательно, они и испущены были одновременно.

Наблюдатель B: Сигналы пришли ко мне одновременно, но в момент испускания голова поезда была ко мне ближе, поэтому сигнал от хвоста поезда прошел больший путь, следовательно он и был испущен раньше, чем сигнал от головы.

Этот пример показывает, что часы в системе "поезд" синхронизованы только с точки зрения наблюдателя, который в ней неподвижен. С точки зрения наблюдателя на земле, часы, расположенные на поезде в разных точках (в голове, в хвосте и в середине поезда) показывают разное время. События, одновременные в одной системе отсчета (световые вспышки в системе отсчета поезда), не являются одновременными в другой системе отсчета земли. Синхронизация часов находящихся в разных системах отсчета невозможна. Этот вывод не исключает совпадения показаний часов в отдельный момент времени - например, наблюдатели A и B в момент встречи могут установить одинаковые показания своих часов. Но уже в любой последующий момент показания часов разойдутся.

2.3 Преобразования Лоренца

Преобразования Лоренца, обобщающие формулы Галилея перехода от одной инерциальной системы отсчета в другую, можно получить из анализа еще одного мысленного эксперимента. Пусть начала координат систем отсчета S и S в начальный момент t = t совпадают и оси координат в них имеют одинаковую ориентацию (см. Рис. 6). В этот момент времени в их общем начале координат пусть произошла световая вспышка. С точки зрения наблюдателя, находящегося в системе S, в ней распространяется сферическая электромагнитная волна, которая за время t пройдет расстояние r = c t ( ) от начала координат.

Но наблюдатель в движущейся системе S также регистрирует сферическую световую волну, распространяющуюся из начала координат этой системы (точки 0) со скоростью света в вакууме c. По его часам за время t волна пройдет расстояние r = c t, где . Это связано с тем, что физические явления в инерциальных системах происходят одинаковым образом. Иначе, регистрируя различия, можно было бы найти "истинно" покоящуюся систему отсчета, что невозможно.

Теперь ясно, что координаты точек волнового фронта в системе S и S связаны уравнением

решение которого и является искомым обобщением преобразований перехода из одной инерциальной системы координат в другую.

Опуская сам формальный вывод, который использует общие соображения об однородности и изотропии пространства и однородности времени (из которых, например, следует, что связь "штрихованных" и "нештрихованных" координат должна быть линейной), можно получить, что в условиях рассматриваемого мысленного эксперимента, параметры {x,y,z,t} связаны с параметрами {x,y,z,t} соотношениями

Преобразования Лоренца оставляют неизменными уравнения Максвелла, однако проверка этого утверждения выходит за рамки школьной программы по физике.

Легко видеть, что уравнения Ньютона теперь не сохраняют свой вид при преобразовании (12). Поэтому второй закон Ньютона необходимо модифицировать. Новая механика, основанная на принципе относительности Эйнштейна, называется релятивистской (от латинского relativus - относительный).

При безразмерном параметре V/c 1 формулы (4) переходят в формулы (1). Поэтому в теории относительности выполняется принцип соответствия - при малых скоростях движения частиц и систем отсчета релятивистские выражения переходят в формулы ньютоновой механики. Этот переход является характерной чертой любой физической теории: старые знания не перечеркиваются новыми достижениями, а включаются них как предельный частный случай.

Обратное преобразование координат системы S в координаты системы S можно получить из (12), поменяв местами штрихованные и нештрихованные координаты и проведя замену V  - V:

Рис. 6

2.4 Преобразование скорости

Если частица движется относительно движущейся системы координат S со скоростью , то ее скорость в системе отсчета S может быть найдена с помощью преобразований Лоренца (12).