Доказательства от противного обычны в наших рассуждениях, особенно в споре. При умелом применении они могут обладать осо­бенной убедительностью.

Итак, ход мысли в косвенном доказательстве определяется тем, что вместо обоснования справедливости тезиса стремятся показать не­состоятельность его отрицания. В зависимости от того, как реша­ется последняя задача, можно выделить несколько разновидностей косвенного доказательства.

Следствия, противоречащие фактам

Чаще всего ложность антитезиса удается установить простым сопоставлением вытекаю­щих из него следствий с фактами. Так обстояло, в частности, дело в примере с гриппом.

Друг изобретателя паровой машины Д. Уатта шотландский уче­ный Д. Блэк ввел понятие о скрытой теплоте плавления и испаре­ния, важное для понимания работы такой машины. Блэк, наблюдая обычное явление — таяние снега в конце зимы, рассуждал так: если бы снег, скопившийся за зиму, таял сразу, как только температура воздуха стала выше нуля, то неизбежны были бы опустошительные наводнения, а раз этого не происходит, значит, на таяние снега должно быть затрачено определенное количество теплоты. Ее Блэк и назвал скрытой.

Это — косвенное доказательство. Следствие антитезиса, а зна­чит, и он сам, опровергается ссылкой на очевидное обстоятельство: в конце зимы наводнений обычно нет, снег тает постепенно.

Внутренне противоречивые следствия

По логическому зако­ну непротиворечия одно из двух противоречащих друг другу ут­верждений является ложным. Поэтому, если в числе следствий ка­кого-либо положения встретились и утверждение и отрицание одного и того же, можно сразу же заключить, что это положение ложно.

Например, положение «Квадрат — это окружность» ложно, по­скольку из него выводится как то, что квадрат имеет углы, так и то, что у него нет углов.

Ложным будет также положение, из которого выводится внут­ренне противоречивое высказывание или высказывание о тожде­стве утверждения и отрицания.

Один из приемов косвенного доказательства — выведение из антитезиса логического противоречия. Если антитезис содержит противоречие, он явно ошибочен. Тогда его отрицание — тезис до­казательства — верно.

Хорошим примером такого рассуждения служит известное до­казательство Евклида, что ряд простых чисел бесконечен.

Простые — это натуральные числа больше единицы, делящиеся только на себя и на единицу. Простые числа - это как бы «первич­ные элементы», на которые все целые числа (больше 1) могут быть разложены. Естественно предположить, что ряд простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11,13, . — бесконечен. Для доказательства данного тезиса допустим, что это не так, и посмотрим, к чему ведет такое допуще­ние. Если ряд простых чисел конечен, существует последнее простое число ряда — А. Образуем далее другое число: В = (2 • 3 • 5 • . • А) + 1. Число В больше А, поэтому В не может быть простым числом. Зна­чит, В должно делиться на простое число. Но если В разделить на любое из чисел 2, 3, 5, А, то в остатке получится 1. Следователь­но, В не делится ни на одно из указанных простых чисел и является, таким образом, простым. В итоге, исходя из предположения, что существует последнее простое число, мы пришли к противоречию: существует число одновременно и простое, и не являющееся про­стым. Это означает, что сделанное предположение ложно и пра­вильно противоположное утверждение: ряд простых чисел беско­нечен.

В этом косвенном доказательстве из антитезиса выводится ло­гическое противоречие, что прямо говорит о ложности антитезиса и соответственно об истинности тезиса. Такого рода доказательства широко используются в математике.

Если имеется в виду только та часть подобных доказательств, в которой показывается ошибочность какого-либо предположения, они именуются по традиции приведением к абсурду. Ошибочность предположения вскрывается тем, что из него выводится откровен­ная нелепость.

Имеется еще одна разновидность косвенного доказательства, когда прямо не приходится искать ложные следствия. Дело в том, что для доказательства утверждения достаточно показать, что оно логически вытекает из своего собственного отрицания.

Этот прием опирается на закон Клавия, говорящий, что если из ложности утверждения вытекает его истинность, то утверждение истинно.

К примеру, если из допущения, что дважды два равно пяти, вы­ведено, что это не так, тем самым доказано, что дважды два не равняется пяти.

По такой схеме рассуждал еще Евклид в своей «Геометрии». Эту же схему использовал однажды древнегреческий философ Демо­крит в споре с другим древнегреческим философом, софистом Протагором. Протагор утверждал, что истинно все то, что кому-либо приходит в голову. На это Демокрит ответил, что из положения «Каждое высказывание истинно» вытекает истинность и его отри­цания «Не все высказывания истинны». И значит, это отрицание, а не положение Протагора на самом деле истинно.

Разделительное доказательство

Во всех рассмотренных кос­венных доказательствах выдвигаются две альтернативы: тезис и антитезис. Затем показывается ложность последнего, в итоге оста­ется только тезис.

Можно не ограничивать число принимаемых во внимание воз­можностей только двумя. Это приведет к так называемому раздели­тельному косвенному доказательству, или доказательству через исклю­чение. Оно применяется в тех случаях, когда известно, что дока­зываемый тезис входит в число альтернатив, полностью исчерпы­вающих все возможные альтернативы данной области.

Например, нужно доказать, что одна величина равна другой. Ясно, что возможны только три варианта: или две величины равны, или первая больше второй, или, наконец, вторая больше первой. Если удалось показать, что ни одна из величин не превосходит дру­гую, два варианта будут отброшены и останется только третий: ве­личины равны.

Доказательство идет по простой схеме: одна за другой исклю­чаются все возможности, кроме одной, которая и является доказы­ваемым тезисом. В стандартных косвенных доказательствах альтер­нативы — тезис и антитезис — исключают друг друга в силу законов логики. В разделительном доказательстве взаимная несовмести­мость возможностей и то, что ими исчерпываются все мыслимые альтернативы, определяются не логическими, а фактическими об­стоятельствами. Отсюда обычная ошибка разделительных доказа­тельств: рассматриваются не все возможности.

С помощью разделительного доказательства можно попытать­ся, например, показать, что в Солнечной системе жизнь есть только на Земле. В качестве возможных альтернатив выдвинем утвержде­ния, что жизнь есть на Меркурии, Венере, Земле и т.д., перечисляя все планеты Солнечной системы. Опровергая затем все альтерна­тивы, кроме одной — говорящей о наличии жизни на Земле, получим доказательство исходного утверждения.

Нужно заметить, что в ходе доказательства рассматриваются и опровергаются допущения о существовании жизни на других пла­нетах. Вопрос о том, если ли жизнь на Земле, вообще не поднима­ется. Ответ получается косвенным образом: путем показа того, что ни на одной другой планете нет жизни. Это доказательство оказа­лось бы, конечно, несостоятельным, если бы, допустим, выясни­лось, что, хотя ни на одной планете, кроме Земли, жизни нет, живые существа имеются на одной из комет или на одной из так называемых малых планет, тоже входящих в состав Солнечной сис­темы.