Развитие буквенной символики позволило установить общие утверждения, касающиеся алгебраических уравнений: теорему Безу о де­лимости многочлена Р (х) на двучлен х - а, где а – корень этого многочлена; соотношения Виета между корнями уравнения и его коэф­фициентами; правила, позволяющие оцени­вать число действительных корней уравнения; общие методы исключения неизвестных из си­стем уравнений и т.д.

Особенно далеко было продвинуто в XVIII в. решение систем линейных уравне­ний – для них были получены формулы, позво­ляющие выразить решения через коэффи­циенты и свободные члены. Дальнейшее изу­чение таких систем уравнений привело к созданию теории матриц и определителей. В конце XVIII в. было доказано, что любое алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один ком­плексный корень. Это утверждение носит на­звание основной теоремы алгебры.

В течение двух с половиной столетий вни­мание алгебраистов было приковано к задаче о выводе формулы для решения общего урав­нения 5-й степени. Надо было выразить корни этого уравнения через его коэффициенты с по­мощью арифметических операций и извлече­ний корней (решить уравнение в радикалах). Лишь в начале XIX в, итальянец П. Руффини и норвежец Н. Абель независимо друг от дру­га доказали, что такой формулы не суще­ствует. Эти исследования были завершены французским математиком Э. Гачуа, методы которого позволяют для каждого данного уравнения определить, решается ли оно в радикалах. Один из крупнейших математи­ков К. Гаусс выяснил, при каких условиях можно построить циркулем и линейкой пра­вильный n-угольник вопрос оказался свя­занным с изучением корней уравнения хn = 1. Выяснилось что эта задача разрешима лишь в случае, когда число п является простым числом Ферма или произведением нескольких различных простых чисел Ферма (простыми числами Ферма называются простые числа, представимые в виде 22n + 1, до сих пор из­вестны лишь пять таких чисел 3, 5, 17, 257, 65537) Тем самым молодой студент (Гауссу было в то время лишь 19 лет) решил задачу, которой безуспешно занимались ученые более двух тысячелетий.

В начале XIX в. были решены основные за­дачи, стоявшие перед алгеброй в первом ты­сячелетии ее развития. Она получила самостоятельное обоснование, не опирающееся на геометрические понятия, и, более того, алгебраические методы стали применяться для ре­шения геометрических задач. Были разрабо­таны правила буквенного исчисления для рациональных и иррациональных выражений, выяснен вопрос о разрешимости уравнений в радикалах и построена строгая теория ком­плексных чисел. Поверхностному наблюдателю могло показаться, что теперь математики будут решать новые и новые классы алгебраических уравнений, доказывать новые алгебраические тождества и т.д. Однако развитие алгебры пошло иным путем: из науки о буквенном исчислении и уравнениях она превратилась в общую науку об операциях и их свойствах.

После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании “гиперкомплексных чисел” - чисел с несколькими “мнимыми единицами”. Такую систему чисел, имевших вид а + bi+ cj + dk, где i2 =j2 = k2= - 1, построил в 1843 г. ирландский мате­матик У. Гамильтон, который назвал их “ква­тернионами”. Правила действий над кватер­нионами напоминают правила обычной ал­гебры, однако их умножение не обладает свойством коммутативности (переместитель­ности): например, ij= k, a ji= -k

С операциями, свойства которых лишь от­части напоминают свойства арифметических операций, математики XIX в. столкнулись и в других вопросах. В 1858 г. английский мате­матик А. Кэли ввел общую операцию умно­жения матриц и изучил ее свойства. Оказа­лось, что к умножению матриц сводятся и многие изучавшиеся ранее операции. Ан­глийский логик Дж. Буль в середине XIX в. начал изучать операции над высказываниями, позволявшие из двух данных высказываний построить третье, а в конце XIX в. немецкий математик Г. Кантор ввел операции над мно­жествами: объединение, пересечение и т.д. Оказалось, что как операции над высказыва­ниями, так и операции над множествами обладают свойствами коммутативности (пере­местительности), ассоциативности (сочета­тельности) и дистрибутивности (распредели­тельности), но некоторые их свойства не похожи на свойства операций над числами.) Таким образом, в течение XIX в. в матема­тике возникли разные виды алгебр: обычных чисел, комплексных чисел, кватернионов, ма­триц, высказываний, множеств и т.д. Каждая из них имела свои правила, свои тождества, свои методы решения уравнений. При этом для некоторых видов алгебр правила были очень похожими. Например, правила алгебры рациональных чисел не отличаются от правил алгебры действительных чисел. Именно по­этому формулы, которые в VI классе устана­вливают для рациональных значений букв, оказываются верными и для любых действи­тельных (и даже любых комплексных) значе­ний тех же букв. Одинаковыми оказались и правила в алгебре высказываний и в алгебре множеств. Все это привело к созданию аб­страктного понятия композиции, т.е. опера­ции, которая каждой паре (а, b) элементов не­которого множества Х сопоставляет третий элемент с того же множества. Композициями были сложение и умножение как натуральных, так и любых целых, а также рациональных, действительных и комплексных чисел, “умно­жение” матриц, пересечение и объединение подмножеств некоторого множества U и т.д. А вычитание и деление во множестве нату­ральных чисел не являются композициями, так как и разность, и частное могут не быть натуральными числами.

Изучение свойств композиций разного вида привело к мысли, что основная задача ал­гебры - изучение свойств операций, рассма­триваемых независимо от объектов, к ко­торым они применяются. Иными словами, алгебра стала рассматриваться как общая на­ука о свойствах законов композиции, свой­ствах операций. При этом два множества, в каждом из которых заданы композиции, стали считаться тождественными с точки зре­ния алгебры (или, как говорят, “изоморфны­ми”), если между этими множествами можно установить взаимно-однозначное соответ­ствие, переводящее один закон композиции в другой. Если два множества с композиция­ми изоморфны, то, изучая одно из них, мы уз­наем алгебраические свойства другого.

В наши дни алгебра - одна из важнейших частей математики, находящая приложения как в сугубо теоретических отраслях науки, так и во многих практических вопросах.