I. Введение

В истории математики рассмотренный нами период существования Алексан­дрийской школы носит название «Первой Александрийской школы». С начала нашей эры на основе работ александрийских математиков начинается бурное раз­витие идеалистической философии: снова возрождаются идеи Платона и Пифа­гора, и эта философия неоплатоников и неопифагорейцев быстро снижает научное значение работ новых представителей математической мысли. Но вес же матема­тическая мысль не замирает, а время от времени проявляется в работах отдельных математиков. Второй период, в который протекала работа Александрийской школы, носит название «Второй Александрийской школы».

II. Герон Александрийский

К числу представителей Александрийской школы в начале второго периода ее существования надо отнести Герона Александрийского, жившего, вероятно, в I в. до н. э. Герон был выдающимся греческим инженером и ученым. Он известен многими своими изобретениями, работами геодезического характера, а также ма­тематическими работами, относящимися главным образом к вопросам геометри­ческой метрики. Из его работ, имеющих значение для математики, можно отме­тить «Метрику» и «О диоптре». В «Метрике» приводятся правила и указания для точного и приближенного вычисления площадей и объемов различных фигур и тел; среди них имеется и формула для определения площади треугольника по трем его сторонам, вошедшая в математику под именем формулы Герона. Кроме того, в этой работе указываются примеры решения квадратных уравнений и приближен­ного вычисления квадратных и кубических корней. Характерной особенностью «Метрики», выделяющей ее из ряда работ других греческих геометров, предшест­вовавших Герону, служит то обстоятельство, что в ней обычно правила даются без доказательств, а лишь выясняются на отдельных примерах. Это значительно снижает достоинства работы и, несомненно, является признаком недостаточной научной подготовки её автора. Но в области практических, приложений матема­тики Герон превосходит многих своих предшественников. Лучшей иллюстрацией этого является его работа «О диоптре». В этом труде излагаются методы различ­ных ра­бот геодезического характера, причем землемерная съемка производится с помо­щью изобретенного Героном прибора диоптры. Этот прибор является прооб­разом современного теодолита. Главной его частью служила линейка с укреплен­ными на концах ёе визирами. Эта линейка вращалась по кругу, который мог зани­мать и го­ризонтальное, и вертикальное положение, что давало возможность наме­чать на­правления как в горизонтальной, так и в вертикальной плоскости. Для пра­вильно­сти установки прибора к нему присоединялись отвес и уровень. Пользуясь этим прибором и вводя фактически в употребление прямоугольные координаты, Герон мог решать на местности различные задачи: измерить расстояние между двумя точками, когда одна из них или обе недоступны наблюдателю; провести прямую, перпендикулярную к недоступной прямой линии; найти разность уровней между двумя пунктами; измерить площадь простейшей фигуры, не вступая на из­меряе­мую площадку.

Сочинения Герона давали его современникам богатый материал, практиче­ское использование которого вполне удовлетворяло вопросам строительства и земледелия, а потому эти сочинения пользовались большим успехом в продолже­ние многих столетий.

III. Никомах, Менелай

В конце I в. н. э. надо отметить появление трудов неопифагорейца Никомаха. Его работа «Введение в арифметику» является первым трудом по арифметике, из­ложенным независимо от геометрии, и потому она оказывала свое влияние на изу­чение арифметики не менее тысячи лет. Между тем эта работа не содержит в себе ничего особенно оригинального. Основной ее идеей является классификация чи­сел, причем она проводится на основах, всецело опирающихся на числовую мис­тику. В числовую классификацию Никомаха входят также и многоугольные числа по образцу пифагорейских. Наиболее интересным в «Арифметике» Никомаха яв­ляется раздел суммирования числовых рядов. Здесь мы встречаем, например, ука­зание на то, что кубические числа представляют собой суммы последовательных нечетных чисел. Так, 13 = 1; 23 = 3 + 5; 33 = 7 + 9 + 11; 43 = 13 + 15 + 17 + 19 и т. д.

Современником Никомаха надо считать астронома и геометра Менелая Алек­сандрийского, который написал трактат о сферических треугольниках, явившихся в свое время как бы фундаментом сферической геометрии. В этом же труде Мене­лая находится его знаменитая теорема, согласно которой «если какая-нибудь пря­мая линия пересекает три стороны треугольника или их продолжения, то произве­дение трех отрезков, не имеющих общих точек, равно произведению трех других отрезков».

IV. Клавдий Птолемей

Ко II в. относится деятельность Клавдия Птолемея. Оп работал главным об­разом в области астрономии, причем его астрономические наблюдения относятся ко времени между 125 и 151 г. (Как астроном Птолемей разработал геоцентриче­скую систему мира, согласно которой Земля неподвижно покоится в центре мира, а все не­бесные светила движутся вокруг нее. Эта система была опровергнута Н. Копер­ником в его гелиоцентрической системе мира, полагающей, что центром Вселен­ной является Солнце, вокруг которого обращаются Земля и другие пла­неты, при­чем все планеты вращаются вокруг своих осей.) В своих работах он не­вольно сталкивался с понятиями тригонометрического характера, а потому ему удалось внести значительный вклад и в развитие тригонометрии. В своих астро­номических работах Птолемей уже не разделял часы на дневные и ночные, как это делали египтяне, а считал их равными по своей продолжительности. Окружность он разделял на 360 градусов и каждый градус делил еще пополам. Диаметр же ок­ружности он делил на 120 градусов, полагая, таким образом, что длина окружно­сти в 3 раза больше ее диаметра; при этом каждый градус диаметра подразделял на 60 равных частей, а каждую из этих частей вновь разделял на 60 частей. В бо­лее позднее время эти подразделения градуса получили у римлян наименования partes minutae primae и partes minutae sekundae, что в переводе означает «части меньшие первые» и «части меньшие вторые». От этих латинских слов нами и за­имствованы названия для единиц измерения углов и времени — минута и секунда.

Главная работа Птолемея называлась «Великое математическое построение астрономии в XIII книгах» или сокращенно «Мэгистэ» (в пер. с греч. «величай­шая»). В историю она вошла под названием «Альмагест», которое дали ей впо­следствии арабы.

В «Альмагесте» Птолемей вычисляет величины хорд всех дуг от 0° до 180о, причем значения хорд даны для дуг через каждую 1/2°. Для выполнения этой ра­боты Птолемей вводит свою теорему, которая в истории математики носит назва­ние теоремы Птолемея и формулируется так: произведение длин диагоналей впи­санного в круг четырехугольника равно сумме произведений длин его противопо­ложных сторон. Из этой теоремы Птолемей подучил следствия, позволяющие по данному диаметру окружности и по двум хордам, стягивающим дуги a и b, вы­числить хорды, стягивающие дуги a + b и a - b. Пользуясь полученными соотно­шениями, а также используя уменье вычислять стороны вписанных в круг пра­вильных фигур (треугольника, квадрата, пятиугольника, шестиугольника и деся­тиугольника), Птолемей и составил свою таблицу хорд, предшественницу совре­менных таблиц синусов.