13. Матем. обраб. равноточн. изм. Арифм. среднее, СКО арифмет. середины

Имеется ряд равноточ. изм. l1, l2…, ln. За окончательное знач. изм. величины приним. среднее знач или L=(l1+l2+ … +ln)/n=[l]/n. Ряд случ. ош.

∆1=l1-x, ∆2=l2-x,….,∆n=ln-x,

где х-точное знач. изм. величины. Сложим все и получ. [∆]=[l] – nx. x=[l]/n – [∆]/n. При бесконечном числе изм. среднее арифм. знач. их находится ближе всего к точному их значению х, чем любой из результатов измерений (l1, l2…ln) поэтому его назыв. вероятнейшим знач. измеренной величины.

L=[l]/n, L=l0+[E]/n,

l0-наименьшее из всех результатов изм., Е-разница м/у каждым наименьшим и результатом изм. Е=l1-l0. Если возмем – м/у средним арифм. и каждым результатом изм. то получим v1=l1-L, v2=l2-L,…., vn=ln-L. Сложим все и получ.

[v]=[l] – [l]/n*n.

Величину v назыв. уклонением от вероятнейшего знач. или вероятнейшими ош. СКО арифм. середины, если х-точное значение определ. велич., L-арифметич. середина, М-ош. вероятн. знач. М=L-x.

8. Способы получ. размеров по меридиану и параллели литсов топограф. карт мелких и ср. м. в мере

Разграфка листов крупномасштабн. планов произв. сл. способом: для съемки и составл. планов свыше 20 км2 за основу разграфки принимают лист карты 1:1000000, а в случае прямоугольной разграфки 1:5000.

1:1000000–4–6°, 1:500000–2–3°, 1:300000–1°20–2°, 1:200000–40'-1° 1:100000–20'-30', 1:50000–10'-15', 1:25000–5'-7'30», 1:10000–2'30»-3'45».

16. Оценка точности рез. равноточ. изм. по 2-х изм. Ф., порядок вычисл.

На пактике часто произв. 2-ые равноточные изм. Изм. некот. однородн. велич. и получ. результатыl1', l2'…ln' и l»1, l2»…ln», d=li'-li». При абсолютно точных знач. – этих велич. должны быть =0. Но этого не происх. т. к. влияют ош. можно их вычисл. по ф. Г. md=+-√[d2]/n. Ош 1-го изм. ml=√[d]2/2n, вероятнейшего измерения. ml=0.5√[d2]/n, предельное изм. ∆пр=3m. Эти ф. справедливы когда отсутств. систем. ош. Если есть систем. ош. то ее нужно опред. и искл. Если бы не было случ. ош. тогда знач. систематич. ош. можно получить применяя ф. арифм. середнего. Q=d, Q=[d]/n. Искл. знач. ош. из – получим остаточные разности i=di-Q.

17. СКО арифметической середины. Вывод ф.

M=L-x. Для вывода этой формулы примем ∆1=l1-x, ∆2=l2-x,…,∆n=ln-x. Сложим и разделим все и получим [∆]/n=[l]/n-xn/n. Возведем это равенство в квадрат

М2=(∆12+∆22+ … +∆n2+2∆1∆2+2∆1∆3+ … +2∆1∆n+2∆2∆3+2∆2∆4+ … +2∆2∆n+ … +2∆n-1∆n)/n2.

Т.к. в этой ф. на основании св-ва случ. ош. удвоенные произв. могут иметь разные знаки и при возрастании числа сумма их будет →0, поэтому отбросив их получим приближен. равенство.

M2=(∆12+∆22+ … +∆n2)/n2=[∆2]/n2.

М=ml/√n, ML=ml/√n-СКО вероятнейшего знач. Следовательно СКО арифм. серед. равноточ. изм. одной и той же велич. √n меньше СКО отдельного изм. → вероятн. знач. будет наиболее точным по сравнению с каждым результатом изм.

18. СКО ф-и общего вида: U=f(X1, X2,…, Xn). Вывод ф.

U=f(X1, X2,…, Xn),

где X1, X2, Xn непосредственно изм. велич. содерж. ош. ∆х1, ∆х2, ∆хn. Если меняются знач. аргументов ф-и на велич. ош., то меняется и сама ф-я

U+∆U=f(x1+∆х1, х2+∆х2, хn+∆хn).

19. СКО ф-и вида U=KX(K-const).Вывод ф.

U=KX, где K-const, х - непоср. изм. велич. Если х изм. ошибочно, то и ф-ия будет иметь ош. U+∆U=K (x+∆x), где ∆U-случ. ош. Произведем вычисл. и получ. ∆U=K∆x

mU=mx√∑Ki2.

20. СКО ф-й вида U=X+Y. Вывод ф.

U=X+Y(1), где х, у - независим. велич., получ. в результате неоднократных изм. величин. Если изм. велич. были определены со случ. ош., то и сумма их будет содерж. ош.

U+∆U=(x+∆x)+(y+∆y) (2).

Вычтем из (2) (1) ∆U=∆x+∆y. При многократных непостедств. изм. каждой велич. получ. многочлен

∆U1=∆x1+∆y1,∆U2=∆x2+∆y2,….,∆Un=∆xn+∆yn.

Возведем в квадрат и сложим почленно [∆U2]=[∆x2]+[∆y2]+2 [∆x∆y]. Отбросим последнее знач. т.к. оно обладает всеми св-ми случ. ош. и при увелич. числа изм. стремится к 0.

[∆U2]=[x2]/n+[y2]/n, m2U=mx2+my2.

СКО суммы двух изм. велич. равна сумме квадратов отдельных аргументов.

m=mx=my, mU= +-m√2, mU=√mx2+my2.